Was ist das Konvergenzintervall von sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

$Was ist das Konvergenzintervall von sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?$

Antworten:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Erläuterung:

Das können wir uns merken #sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x))) ^ n # ist eine geometrische Reihe mit Verhältnis # r = 1 / (x (1-x)) #.

Jetzt wissen wir, dass geometrische Reihen zusammenlaufen, wenn der absolute Wert des Verhältnisses kleiner als 1 ist:

# | r | <1 iff-1 <r <1 #

Also müssen wir diese Ungleichheit lösen:

# 1 / (x (1-x)) <1 und 1 / (x (1-x))> -1 #

Beginnen wir mit dem ersten:

# 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x)) - (x (1-x)) / (x (1-x)) <0 iff #

# (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 #

Wir können leicht beweisen, dass der Zähler immer positiv ist und der Nenner im Intervall negativ ist #x in (-oo, 0) U (1, oo) #.

Das ist also die Lösung für unsere erste Ungleichung.

Lass uns den zweiten sehen:

# 1 / (x (1-x)) + (x (1-x)) / (x (1-x))> 0, falls (1 + xx ^ 2) / (x (1-x))> 0 #

Diese Ungleichung hat die Lösung des Intervalls:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Also konvergieren unsere Serien dort, wo dies zu Intervallen stimmt.

Daher ist unser Konvergenzintervall:

#x in (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) #

Das Alter von drei Geschwistern zusammen ist 27 Jahre alt. Das älteste ist doppelt so alt wie das jüngste. Das mittlere Kind ist 3 Jahre älter als das jüngste. Wie findest du das Alter jedes Geschwisters?

Das Alter der Kinder ist 6, 9 und 12. Lassen Sie die Farbe (rot) x das Alter des jüngsten Kindes. Wenn das älteste Kind doppelt so alt ist wie das jüngste, ist das Alter des ältesten Kindes doppelt so groß (rot) x oder Farbe (blau) (2x). Wenn das mittlere Kind 3 Jahre älter ist als das jüngste, ist das Alter des mittleren Kindes Farbe (Magenta) (x + 3). Wenn die Summe ihres Alters 27 ist, dann ist Farbe (Rot) x + Farbe (Blau) (2x) + Farbe (Magenta) (x + 3) = 27Farbe (Weiß) (Aaa). Kombinieren Sie wie die Begriffe 4x + 3 = 27Farbe ( weiß) (aaa) Farbe (weiß) (aa) -3Farbe (wei&

Was ist das Konvergenzintervall von sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Siehe unten. Unter Verwendung der Polynomidentität (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) haben wir für abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) dann haben wir für x ne k pi, k in ZZ sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

Was ist das Konvergenzintervall von sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Und was ist die Summe in x = 3?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["ist das Konvergenzintervall für x" "x = 3 ist nicht im Konvergenzintervall, so dass die Summe für x = 3" oo "ist Es ist eine geometrische Reihe, indem "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "" gesetzt wird. Dann haben wir "sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z)" für " | z | <1 Das Konvergenzintervall ist also -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) OR (x-2) / 2 x + 1 -2 (x-2) (x-2 negativ) Positiver Fall: => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 <x + 4 &l