Was ist der Bereich der Funktion f (x) = 5 ^ (sqrt (2x ^ 2-1))?

Antworten:

Der Bereich ist 1, # oo #)

Erläuterung:

Beim ersten Blick auf dieses Problem würde ich mich auf die Domäne konzentrieren. X unter einer Quadratwurzel führt normalerweise zu einer begrenzten Domäne. Dies ist wichtig, denn wenn in der Domäne keine Punkte vorhanden sind, müssen wir sicherstellen, dass sie auch nicht in den Bereich aufgenommen werden!

Die Domain für #f (x) # ist (-# oo #, -#sqrt (1/2) #)# uu #(#sqrt (1/2) #, # oo #), wie # 2x ^ 2 -1 # kann nicht kleiner sein als #0# oder die resultierende Zahl wird imaginär sein.

Nun müssen wir uns das Endverhalten ansehen, um zu sehen, wohin die Funktion geht # oo # und -# oo # zum # x #. Beim Betrachten des Endverhaltens können wir kleinere Details ignorieren, die die allgemeine Form der Funktion nicht beeinflussen. Bei der Beschreibung des Endverhaltens wird die Funktion verwendet #g (x) # wird normalerweise verwendet.

g (x) = # 5 ^ sqrt (x ^ 2) #

g (x) = # 5 ^ | x | #

Und "einstecken" negative und positive Unendlichkeit

G(-# oo #) = # 5 ^ -oo | #

G(# -oo #) = # oo #

G(# oo #) = # 5 ^ | oo | #

G(# oo #) = # oo #

#f (x) # geht in beide Richtung in Richtung positiver Unendlichkeit

Nun müssen wir das Minimum der Funktion finden. Denk daran, dass #f (x) # ist nicht kontinuierlich, da wir in seiner begrenzten Domäne gezeigt haben.

Schon seit #f (x) # ist eine gerade Funktion (symmetrisch auf der y-Achse) und # y # steigt mit der Größe von # x # tut das Minimum # y # Wert wird gefunden wo # x # ist am nächsten bei 0. In unserem Fall wird es -#sqrt (1/2) # oder #sqrt (1/2) # aufgrund der begrenzten Domain. Lass uns einstecken #sqrt (1/2) # das Minimum finden.

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (sqrt (1/2)) ^ 2-1) #

f (#sqrt (1/2) #) = # 5 ^ sqrt (2 * (1/2) -1) #

f (#sqrt (1/2) #) = #5^(1-1)#

f (#sqrt (1/2) #) = #5^0#

f (#sqrt (1/2) #) = 1

Also wird der Bereich 1 sein, # oo #)

Antworten:

1, positive Unendlichkeit)

Erläuterung:

Wenn Sie diese Funktion grafisch darstellen (ich empfehle Desmos, wenn Sie sie nicht grafisch dargestellt haben), können Sie sehen, dass der unterste Teil der Funktion 1 auf der y-Achse berührt und positiv bis unendlich geht. Eine einfache Möglichkeit, dies ohne Diagramm zu finden, besteht darin, festzustellen, ob Sie Einschränkungen in der Gleichung haben. Da es keine Quadratwurzeln aus negativen Zahlen gibt, wissen wir, dass wir den niedrigsten möglichen x-Wert finden können, wenn wir den Exponenten auf 0 setzen.

#sqrt ((2x ^ 2) -1) = 0 #

# (2x ^ 2) -1 = 0 ^ 2 #

# 2x ^ 2-1 = 0 #

# 2x ^ 2 = 1 #

# x ^ 2 = 1/2 #

# x = sqrt (1/2) #

Nun, da wir die Domain-Einschränkung haben, können wir diese für die ursprüngliche Gleichung verwenden

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (sqrt (1/2)) ^ 2) -1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((2 (1/2) -1)) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt ((1-1) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ sqrt (0) #

#f (sqrt (1/2)) = 5 ^ 0 #

#f (sqrt (1/2)) = 1 #

Nun haben wir festgestellt, dass der niedrigste mögliche y-Wert 1 ist, und es besteht keine Einschränkung, wie hoch die y-Werte möglicherweise gehen können. Daher reicht der Bereich von positiv 1 (einschließlich) bis hin zu positiver Unendlichkeit.