Was ist die maximale Fläche eines Rechtecks mit einem Umfang von 116 m?

Antworten:

Das Gebiet, #A = 841 "m" ^ 2 #

Erläuterung:

Sei L = die Länge

Sei W = die Breite

Das Areal, #P = 2L + 2W #

Gegeben: #P = 116 "m" #

# 2L + 2W = 116 "m" #

Löse für W in Bezug auf L:

#W = 58 m - L 1 "#

Das Gebiet, #A = LW "2" #

Setzen Sie die rechte Seite der Gleichung 1 für W in die Gleichung 2 ein:

#A = L (58 m - L) #

#A = -L ^ 2 + (58 m) L #

Um den Wert von L zu erhalten, der die Fläche maximiert, berechnen Sie die erste Ableitung in Bezug auf L, setzen Sie ihn auf 0 und die Auflösung für L:

Die erste Ableitung:

# (dA) / (dL) = -2L + 58 "m" #

Setze es gleich 0:

# 0 = -2L + 58 "m" #

#L = 29 "m" #

Verwenden Sie Gleichung 1, um den Wert von W zu ermitteln:

#W = 58 "m" - 29 "m" #

#W = 29 "m" #

Dies zeigt, dass das Rechteck, das die maximale Fläche erzeugt, ein Quadrat ist. Das Gebiet ist:

#A = (29 "m") ^ 2 #

#A = 841 "m" ^ 2 #

Antworten:

# 841m ^ 2 #.

Erläuterung:

Wir lösen dieses Problem mit Algebraische Methoden. Als ein

Zweite Lösung, wir lösen es mit Infinitesimalrechnung

Lassen #l und w # die Länge und Breite des Rechtecks sein.

Dann die Fläche des Rechtecks# = lw. #

Dann, durch das, was gegeben ist, # 2 (l + w) = 116 oder (l + w) / 2 = 29 #.

Hier verwenden wir das Folgende AGH Ungleichheit von echten Nr.:

Ob A, G und H sind die Arithmetik, geometrische und harmonische Mittel

von # a, b in RR ^ + uu {0} "bzw." A> = G> = H. #

# "Hier" A = (a + b) / 2, G = sqrt (ab), &, H = (2ab) / (a + b). #

Daher, # (l + w) / 2> = sqrt (lw) oder ((l + w) / 2) ^ 2> = lb #

Das bedeutet, dass, # "der Bereich =" lb <= (29) ^ 2 #

Daher die maximal Bereich des Rechtecks# = 841m ^ 2 #.