Wie finden Sie eine Potenzreihendarstellung für (arctan (x)) / (x) und wie ist der Konvergenzradius?

Antworten:

Integrieren Sie die Potenzreihe der Ableitung von #arctan (x) # dann durch teilen # x #.

Erläuterung:

Wir kennen die Potenzreihendarstellung von # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # so dass #absx <1 #. So # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Also die Power-Serie von #arctan (x) # ist #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Sie teilen es durch # x #Sie finden heraus, dass die Potenzreihe von #arctan (x) / x # ist #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Sagen wir #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Um den Konvergenzradius dieser Potenzreihe zu ermitteln, wird ausgewertet #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Wenn wir wollen, dass die Potenzreihe zusammenläuft, brauchen wir #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, so dass die Serie konvergiert, wenn #absx <1 #, was nicht überraschend ist, da es sich um den Konvergenzradius der Darstellung der Potenzreihe handelt #arctan (x) #.