Wie finden Sie die Domäne und den Bereich von f (x) = x / (x ^ 2 +1)?

Antworten:

Die Domäne von # f # ist # RR #, und der Bereich ist # {f (x) in RR: -1/2 <= f (x) <= 1/2} #.

Erläuterung:

Lösung für die Domäne von # f #werden wir feststellen, dass der Nenner immer positiv ist, unabhängig von # x #und ist in der Tat am wenigsten, wenn # x = 0 #. Und weil # x ^ 2> = 0 #, kein Wert von # x # kann uns geben # x ^ 2 = -1 # und deshalb können wir uns von der Furcht vor dem Nenner befreien, der immer gleich ist. Durch diese Argumentation ist die Domäne von # f # ist alles reelle Zahlen.

Beim Nachdenken über die Ausgabe unserer Funktion werden wir feststellen, dass die Funktion von rechts bis zum Punkt abnimmt # x = -1 #Danach steigt die Funktion stetig an. Von links ist es das Gegenteil: Die Funktion nimmt bis zum Punkt zu # x = 1 #, danach nimmt die Funktion stetig ab.

Aus beiden Richtungen # f # kann nicht immer gleich sein #0# außer bei # x = 0 # denn für keine Nummer #x> 0 oder x <0 # können #f (x) = 0 #.

Daher ist der höchste Punkt in unserer Grafik #f (x) = 1/2 # und der niedrigste Punkt ist #f (x) = - 1/2 #. # f # kann jedoch alle Zahlen dazwischen gleich sein, daher wird der Bereich durch alle reellen Zahlen dazwischen angegeben #f (x) = 1/2 # und #f (x) = - 1/2 #.

Antworten:

Die Domain ist #x in RR #. Der Bereich ist #y in -1/2, 1/2 #

Erläuterung:

Der Nenner ist

# 1 + x ^ 2> 0, AA x in RR #

Die Domain ist #x in RR #

Um zu finden, wird der Bereich wie folgt verarbeitet:

Lassen # y = x / (x ^ 2 + 1) #

#y (x ^ 2 + 1) = x #

# yx ^ 2-x + y = 0 #

Damit diese quadratische Gleichung Lösungen hat, die Diskriminante #Delta> = 0 #

Deshalb, # (- 1) ^ 2-4 * y * y> = 0 #

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Die Lösung für diese Ungleichheit ist

#y in -1/2, 1/2 #

Der Bereich ist #y in -1/2, 1/2 #

Graph {x / (x ^ 2 + 1) -3, 3,93, -1,47, 1,992}