Was ist der Scheitelpunkt von y = x ^ 2-6x-7?

Antworten:

#P (3, -16) #

Erläuterung:

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, dies zu erreichen.

Diese Gleichung ist in Standardform, daher können Sie die Formel verwenden #P (h, k) = (-b / (2a), - d / (4a)) # Wenn (d) die Diskriminante ist. #d = b ^ 2-4ac #

Oder um Zeit zu sparen, können Sie das (x) -Koordinat für den Scheitelpunkt mit finden # -b / (2a) # und setzen Sie das Ergebnis zurück, um die Koordinate (y) zu finden.

Alternativ können Sie die Gleichung in eine Scheitelpunktform bringen:

#a (x-h) ^ 2 + k #

Beginnen Sie dazu, indem Sie eine Klammer außerhalb der Klammern setzen. Das ist einfach weil # a = 1 #

# x ^ 2-6x-7 = 1 (x ^ 2-6x) - 7 #

Jetzt müssen wir uns ändern # x ^ 2-6x # in # (x-h) ^ 2 #

Dazu können wir den quadratischen Satz verwenden: # (q-p) ^ 2 = q ^ 2 + p ^ 2-2qp #

Sagen wir # q = x # deshalb bekommen wir:

# (x-p) ^ 2 = x ^ 2 + p ^ 2-2xp #

Das sieht so aus, wie wir es brauchen, aber wir sind noch weit entfernt, wie wir es nur haben # x ^ 2 #.

Wenn wir uns anschauen # x ^ 2-6x #Wir können sehen, dass es nur einen Teil gibt, der zur Zweiermacht erhoben wird # p ^ 2 # muss entfernt werden. Das heisst:

# (x-p) ^ 2-p ^ 2 = x ^ 2-2xp #

Wenn wir auf die rechte Seite schauen, sehen wir es fast # x ^ 2-6x #tatsächlich müssen wir nur lösen # -2xp = -6x # #iff p = 3 #

Das heisst:

# (x-3) ^ 2-9 = x ^ 2-6x #

Eine andere Möglichkeit wäre es, eine qualifizierte Vermutung zu treffen und die quadratischen Sätze zu verwenden, um zu sehen, ob sie richtig ist.

Gehen Sie jetzt zu unserer ursprünglichen Formel zurück und ersetzen Sie sie # x ^ 2-6x # mit # (x-3) ^ 2-9 #

Wir bekommen:

# 1 (x ^ 2-6x) - 7 = 1 ((x - 3) ^ 2-9) - 7 = 1 (x - 3) ^ 2-9 - 7 = 1 (x - 3) ^ 2-16 #

Dies ist ähnlich wie beim Scheitelpunkt:

#a (x-h) ^ 2 + k #

Woher

#h = 3 # und # k = -16 #

Wenn die quadratische Gleichung eine Scheitelpunktform hat, ist der Scheitelpunkt einfach der Punkt #P (h, k) #

Daher ist der Scheitelpunkt #P (3, -16) #