Was ist die Domäne und der Bereich von f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36)?

Antworten:

Die Domain ist # RR # (alle reellen Zahlen) und der Bereich ist # 5-Quadratmeter (61)) / 72, (5 + Quadratmeter (61)) / 72 #

(alle reellen Zahlen zwischen und einschließlich # (5-Quadratmeter (61)) / 72 # und # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

Erläuterung:

In der Domäne beginnen wir mit allen reellen Zahlen und entfernen dann alle, die die Quadratwurzel einer negativen Zahl oder a zwingen würden #0# im Nenner eines Bruchteils.

Auf einen Blick wissen wir das als # x ^ 2> = 0 # für alle reellen Zahlen # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. Der Nenner wird also nicht sein #0# für eine reelle Zahl # x #Das bedeutet, dass die Domäne jede reelle Zahl enthält.

Für den Bereich umfasst der einfachste Weg, um die obigen Werte zu finden, einige grundlegende Berechnungen. Obwohl es länger ist, ist es auch möglich, sie nur mit Algebra zu finden, jedoch mit der unten beschriebenen Methode.

Beginnend mit der Funktion #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # Wir möchten alle möglichen Werte von #f (x) #. Dies entspricht dem Auffinden der Domäne der Umkehrfunktion # f ^ -1 (x) # (eine Funktion mit der Eigenschaft # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

Leider die inverse von #f (x) # In diesem Fall handelt es sich nicht um eine Funktion, da sie 2 Werte zurückgibt. Die Idee ist jedoch immer noch dieselbe. Wir werden mit der Gleichung beginnen #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # und lösen für # x # das Gegenteil zu finden. Als nächstes betrachten wir die möglichen Werte von # y # um die Domäne der Umkehrung und damit den Bereich der ursprünglichen Funktion zu finden.

Lösen für # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

Behandlung # y # Als Konstante wenden wir die quadratische Formel an

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

erhalten

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

Wir müssen nun die Domäne des obigen Ausdrucks finden (beachten Sie, dass es wegen der Funktion keine Funktion ist #+-#). Beachten Sie das, indem Sie durch teilen # y # In der quadratischen Formel haben wir die Möglichkeit verloren # y = 0 #was in der ursprünglichen Gleichung eindeutig möglich ist (z #x = -5 #). So werden wir das ignorieren # y # im Nenner der Umkehrung, und konzentrieren Sie sich nur auf die Quadratwurzel.

Wie bereits erwähnt, berücksichtigen wir nicht die Quadratwurzel mit einem Wert unter 0 und haben daher die Einschränkung

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

Verwenden Sie die quadratische Formel # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # wir finden, nach einiger Vereinfachung, #y = (5 + - Quadrat (61)) / 72 #

Schließlich können wir das als sagen # | y | # wächst groß, # -144y ^ 2 + 20y + 1 # wird kleiner sein als #0#. Daher betrachten wir nur das Intervall zwischen

#y = (5-Quadratmeter (61)) / 72 # und #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

Also die zulässigen Werte für # y #und damit der Bereich für #f (x) #ist

# 5-Quadratmeter (61)) / 72, (5 + Quadratmeter (61)) / 72 #

Die Domäne von f (x) ist die Menge aller reellen Werte außer 7, und die Domäne von g (x) ist die Menge aller reellen Werte außer -3. Was ist die Domäne von (g * f) (x)?

Alle reellen Zahlen außer 7 und -3, wenn Sie zwei Funktionen multiplizieren, was machen wir dann? Wir nehmen den f (x) -Wert und multiplizieren ihn mit dem g (x) -Wert, wobei x gleich sein muss. Beide Funktionen haben jedoch Einschränkungen 7 und -3, daher muss das Produkt der beiden Funktionen * beide * Einschränkungen haben. Normalerweise werden bei Operationen an Funktionen, wenn die vorherigen Funktionen (f (x) und g (x)) Einschränkungen hatten, diese immer als Teil der neuen Einschränkung der neuen Funktion oder ihrer Operation betrachtet. Sie können dies auch visualisieren, indem Sie zwe

Die Domäne von f (x) sei [-2.3] und der Bereich [0,6]. Was ist die Domäne und der Bereich von f (-x)?

Die Domäne ist das Intervall [-3, 2]. Der Bereich ist das Intervall [0, 6]. Genau so ist dies keine Funktion, da ihre Domäne nur die Zahl -2,3 ist, während ihr Bereich ein Intervall ist. Angenommen, dies ist nur ein Tippfehler, und die tatsächliche Domäne ist das Intervall [-2, 3]. Dies ist wie folgt: Sei g (x) = f (-x). Da für f die unabhängige Variable nur Werte im Intervall [-2, 3] annehmen muss, muss -x (negatives x) innerhalb von [-3, 2] liegen, d. H. Der Domäne von g. Da g seinen Wert durch die Funktion f erhält, bleibt sein Bereich derselbe, unabhängig davon, was wir

Wenn die Funktion f (x) eine Domäne von -2 <= x <= 8 und einen Bereich von -4 <= y <= 6 hat und die Funktion g (x) durch die Formel g (x) = 5f ( 2x)) was sind dann die Domäne und der Bereich von g?

Unten. Verwenden Sie grundlegende Funktionsumwandlungen, um die neue Domäne und den neuen Bereich zu finden. 5f (x) bedeutet, dass die Funktion um einen Faktor fünf vertikal gedehnt wird. Daher umfasst der neue Bereich ein Intervall, das fünfmal größer ist als das ursprüngliche. Im Falle von f (2x) wird die Funktion um einen Faktor von einer halben Hälfte gedehnt. Daher werden die Extremitäten der Domäne halbiert. Et voilà!