X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (Faktorisierung)?

Antworten:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (x ^ 2- (alpha + bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (omegalpha + omega ^ 2bar (alpha)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alpha + omegabar (alpha)) x + 2) #

wie unten beschrieben…

Erläuterung:

Warnung:

Diese Antwort kann fortgeschrittener sein, als von Ihnen erwartet.

Anmerkungen

Es ist möglich, zu vereinfachen und zu finden:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

mir ist aber (noch) nicht klar, wie das am besten geht.

Antworten:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2 sqrt (21) / 2)) x + 2) #

Erläuterung:

Hier ist eine einfachere Methode …

Gegeben:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Suchen Sie nach einer Faktorisierung der Form:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = x ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabet + betagamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (alphabeta) + betagamma + gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

Gleichungskoeffizienten finden wir:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabet + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

So #alpha, beta, gamma # sind die Nullen der Kubik:

# (x-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = x ^ 3- (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabet + betagamma + gammaalpha) x-alphabetagamma #

# = x ^ 3-6x + 5 #

Beachten Sie, dass die Summe der Koeffizienten dieser Kubik ist #0#. Das ist #1-6+5 = 0#.

Daher # x = 1 # ist eine Null und # (x-1) # ein Faktor:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Die Nullen des verbleibenden Quadrats können mit der quadratischen Formel als gefunden werden:

#x = (-1 + - Quadrat (1 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + - Quadrat (21)) #

So # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

So:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (-1 / 2 sqrt (21) / 2)) x + 2) #

Bonus

Können wir die obige Ableitung verallgemeinern?

# x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 #

# = (x ^ 2 + alphax + q) (x ^ 2 + betax + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = x ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabet + betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (alphabet +) betagamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alpha + beta + gamma) x + q ^ 3 #

Gleichungskoeffizienten:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabet + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Daher #alpha, beta, gamma # sind die Nullen von:

# x ^ 3-3qx-p #

Wenn wir also drei echte Nullen dieser Kubik finden können, dann haben wir die Faktorisierung der Sextik # x ^ 6 + px ^ 3 + q ^ 3 # in drei Quadrate mit reellen Koeffizienten.