Kann mir jemand helfen, diese Gleichung zu verstehen? (eine polare Gleichung einer Kegelform schreiben)

Antworten:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Erläuterung:

Eine Kegelform mit Exzentrizität # e = 4/5 # ist eine Ellipse.

Für jeden Punkt der Kurve ist der Abstand zum Brennpunkt über der Entfernung zur Directrix # e = 4 / 5. #

Fokus an der Stange? Welcher Pol? Nehmen wir an, der Fragende meint Fokus auf den Ursprung.

Verallgemeinern wir die Exzentrizität auf # e # und die directrix zu # x = k #.

Die Entfernung eines Punktes # (x, y) # auf der Ellipse steht der Fokus

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

Die Entfernung zum Directrix # x = k # ist # | x-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Das ist unsere Ellipse, es gibt keinen besonderen Grund, sie in Standardform zu bringen.

Lass es uns polar machen, # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # und # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta -k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (er kos theta - es) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} oder r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Wir lassen die zweite Form fallen, weil wir nie negativ waren # r #.

Also die polare Form für eine Ellipse mit Exzentrizität # e # und directrix # x = k # ist

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Das scheint die Form zu sein, von der Sie angefangen haben.

Einstecken # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Vereinfachung gibt, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Das ist nichts davon.