Frage zur Gravitation?

(a) für Massengut # m = 2000 kg # Bewegung in einer kreisförmigen Umlaufbahn des Radius # r # mit einer Geschwindigkeit # v_0 # um die Erde der Masse # M # (auf einer Höhe # h # von # 440 m #), die Umlaufzeit # T_0 # wird durch Keplers drittes Gesetz gegeben.

# T_0 ^ 2 = (4pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

woher #G# ist die universelle Gravitationskonstante.

In Bezug auf die Höhe der Raumschiffe

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Durch das Einfügen verschiedener Werte erhalten wir

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6,67xx10 ^ -11) (5,98xx10 ^ 24)) (6,37xx10 ^ 6 + 4,40xx10 ^ 5) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591.0 s #

(b) Die zentripetale Kraft wird durch die Schwerkraft ausgeglichen. Der Ausdruck wird

# (mv_0 ^ 2) / r = (GMm) / r ^ 2 #

# => v_0 = sqrt ((GM) / r) #

Alternativ für eine kreisförmige Umlaufbahn

# v_0 = romega #

# => v_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Einfügen verschiedener Werte in alternative Ausdrücke

# v_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 m cdot s ^ -1 #

(c) Kinetische Energie von Picards Raumschiff unmittelbar nach dem Abfeuern eines Stoßes

# E_K = 1 / 2mv ^ 2 #

Durch das Einfügen verschiedener Werte erhalten wir

# E_K = 1/2 (2000) ((100-1.30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10 J #

(d) potentielle Energie dieses Raumschiffes gleichzeitig

#E_P = - (GMm) / (r) #

Durch das Einfügen verschiedener Werte erhalten wir

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11 J #

(e) Gesamtenergie # E_T = E_P + E_K #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6.0xx10 ^ 10 J #

(f) Semi Dur #ein# Achse ist gegeben durch

#E_T = - (GMm) / (2a) #

# => a = - (GMm) / (2E_T) #

Eingegebene Werte erhalten wir

# => a = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6 m #

(g) Die neue Umlaufzeit # T # wird aus dem Ausdruck gefunden

# T ^ 2 = (4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395.1 s #

(h) Picard ist jetzt schneller als Igor

# DeltaT = 5591.0-5395.1 = 195.9s #

Als er als erster ankam # P # er war # 84.0 s # hinter. Jetzt früher um

# 195.9-84.0 = 111.9 s #