Bitte lösen Sie q 11?

Antworten:

Finden Sie den Mindestwert von # 4 cos theta + 3 sin theta. #

Die Linearkombination ist eine phasenverschobene und skalierte Sinuswelle, wobei die Skala durch die Größe der Koeffizienten in Polarform bestimmt wird. # sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = 5, # so ein Minimum von #-5#.

Erläuterung:

Finden Sie den Mindestwert von # 4 cos theta + 3 sin theta #

Die Linearkombination von Sinus und Cosinus desselben Winkels ist eine Phasenverschiebung und eine Skalierung. Wir erkennen das pythagoreische Triple #3^2+4^2=5^2.#

Lassen # phi # sei der Winkel so #cos phi = 4/5 # und #sin phi = 3/5 #. Der Winkel # phi # ist der Hauptwert von #arctan (3/4) # aber das ist uns egal. Was uns wichtig ist, ist, dass wir unsere Konstanten umschreiben können: # 4 = 5 cos phi # und # 3 = 5 sin phi #. So

# 4 cos theta + 3 sin theta #

# = 5 (cos phi cos theta + sin phi sin theta) #

# = 5 cos (Theta-Phi) #

so hat ein Minimum von #-5#.

Antworten:

#-5# ist der erforderliche Mindestwert.

Erläuterung:

Teilen Sie die Gleichung # 3sinx + 4cosx # durch #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # um es auf die Form zu reduzieren #sin (x + -alpha) oder cos (x + -alpha) # woher #ein# und # b #

sind die Koeffizienten von # sinx # und # cosx # beziehungsweise.

# rarr3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * (3/5) + cosx * (4/5) #

Lassen # cosalpha = 3/5 # dann # sinalpha = 4/5 #

Jetzt, # 3sinx + 4cosx #

# = 5 sinx * cosalpha + cosx * sinalpha #

# = 5sin (x + alpha) = 5sin (x + alpha) #

Der Wert von # 5sin (x + alpha) # wird minimal sein wenn #sin (x + alpha #) ist Minimum und der Minimalwert von #sin (x + alpha) # ist #-1#.

Also der Mindestwert von # 5sin (x + alpha) = - 5 #