Bitte helfen Sie mir dabei, wie es geht?

Antworten:

#k = 3 #

Erläuterung:

Verwenden Sie die Eigenschaften von Exponenten # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # und # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, wir haben

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Somit #13!# ist teilbar durch # 24 ^ k # dann und nur dann, wenn #13!# ist teilbar durch # 2 ^ (3k) # und ist teilbar durch # 3 ^ k #.

Wir können die größte Kraft von sagen #2# durch welche #13!# ist teilbar durch, wenn wir die Faktoren betrachten, die durch teilbar sind #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Da trägt keiner der ungeraden Faktoren irgendwelche Faktoren bei #2#, wir haben

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

woher # m # ist eine ganze Zahl, die nicht durch teilbar ist #2#. Als solches wissen wir das #13!# ist teilbar durch # 2 ^ (3k) # dann und nur dann, wenn #2^10# ist teilbar durch # 2 ^ (3k) #bedeutung # 3k <= 10 #. Wie # k # ist eine ganze Zahl #k <= 3 #.

Als nächstes können wir uns anschauen, welche Faktoren von #13!# sind teilbar durch #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Da keine anderen Faktoren von #13!# tragen alle Faktoren von #3#, das heisst

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

woher # n # ist eine ganze Zahl, die nicht durch teilbar ist #3#. Als solches wissen wir das #3^5# ist teilbar durch # 3 ^ k #bedeutung #k <= 5 #.

Die größte nicht negative Ganzzahl, die die Bedingungen erfüllt #k <= 3 # und #k <= 5 # ist #3#gib uns unsere Antwort von # k = 3 #.

Ein Taschenrechner wird das überprüfen #(13!)/24^3 = 450450#, wohingegen #(13!)/24^4=18768.75#