Antworten:
Die Linie ist #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) - 52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #
Erläuterung:
Dieses Ungetüm einer Gleichung wird durch einen etwas längeren Prozess abgeleitet. Ich werde zunächst die Schritte beschreiben, durch die die Ableitung durchgeführt wird, und dann diese Schritte ausführen.
Wir erhalten eine Funktion in Polarkoordinaten, #f (Theta) #. Wir können die Ableitung nehmen, #f '(Theta) #Aber um tatsächlich eine Linie in kartesischen Koordinaten zu finden, brauchen wir sie # dy / dx #.
Wir können finden # dy / dx # unter Verwendung der folgenden Gleichung:
# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #
Dann stecken wir diese Neigung in die standardmäßige kartesische Linienform:
#y = mx + b #
Und fügen Sie die kartesischen konvertierten Polarkoordinaten unseres Sonderziels ein:
#x = f (Theta) cos (Theta) #
#y = f (Theta) sin (Theta) #
Ein paar Dinge, die sofort offensichtlich sein sollten und uns Zeit sparen werden. Wir gehen eine Linie tangential zum Punkt #theta = pi #. Das bedeutet, dass #sin (Theta) = 0 # so…
1) Unsere Gleichung für # dy / dx # wird tatsächlich sein:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
2) Unsere Gleichungen für die kartesischen Koordinaten unseres Punktes werden zu:
#x = -f (Theta) #
#y = 0 #
Wir fangen an, das Problem tatsächlich zu lösen, also ist es unsere erste Aufgabe, zu suchen #f '(Theta) #. Es ist nicht schwer, nur drei einfache Derivate mit Kettenregel für zwei:
#f '(Theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sec ^ 2 (Theta / 2 - pi / 3) #
Nun wollen wir es wissen #f (pi) #:
#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #
# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #
Und #f '(pi) #…
#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sec ^ 2 (pi / 6) #
# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #
# = (9sqrt3 - 52) / 12 #
Mit diesen in der Hand sind wir bereit, unsere Steigung zu bestimmen:
# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #
# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #
# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #
Wir können das als einstecken # m # im #y = mx + b #. Erinnern wir uns, dass wir das vorher bestimmt haben # y = 0 # und #x = -f (Theta) #:
# 0 = - ((6 (1-10 pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #
# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #
# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #
#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #
Wir können unser vorher bestimmtes kombinieren # m # mit unserem neu bestimmt # b # um die Gleichung für die Zeile anzugeben:
#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) - 52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #
