Was sind die Extrema und Sattelpunkte von f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y?

Antworten:

Es gibt ein Extrema bei #(3,3,27)#

Wir haben:

# f (x, y) = xy + 27 / x + 27 / y #

Und so leiten wir die partiellen Ableitungen ab:

# (teilweises f) / (teilweises x) = y - 27 / x ^ 2 # und # (partielles f) / (partielles y) = x - 27 / y ^ 2 #

An einem Extrempunkt oder Sattelpunkt haben wir:

# (teilweises f) / (teilweises x) = 0 # und # (partielles f) / (teilweise y) = 0 # gleichzeitig:

eine gleichzeitige Lösung von:

# y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 #

# x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27 #

Das Abziehen dieser Gleichungen ergibt:

# x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 #

#:. xy (x-y) = 0 #

#:. x = 0; y = 0; x = y #

Wir können beseitigen # x = 0; y = 0 # und so # x = y # ist die einzig gültige Lösung, die zu:

# x ^ 3 = 27 => x = y = 3 #

Und mit # x = y = 3 #, wir haben:

# f (3,3) = 9 + 9 + 9 = 27 #

Daher gibt es nur einen kritischen Punkt, der bei (3,3,27) auftritt und auf dieser Zeichnung zu sehen ist (einschließlich der Tangentialebene).