Zeigen Sie, dass int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx ist

Antworten:

Siehe Erklärung

Erläuterung:

Wir wollen zeigen

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dies ist ein ziemlich "hässliches" Integral, daher besteht unser Ansatz nicht darin, dieses Integral zu lösen, sondern es mit einem "schöneren" Integral zu vergleichen

Wir haben jetzt das für alle positiven reellen Zahlen #farbe (rot) (sin (x) <= x) #

Daher wird der Wert des Integranden für alle positiven reellen Zahlen größer sein, wenn wir ihn ersetzen # x = sin (x) #also, wenn wir zeigen können

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dann muss unsere erste Aussage auch wahr sein

Das neue Integral ist ein einfaches Substitutionsproblem

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Der letzte Schritt ist, das zu bemerken #sin (x) = x => x = 0 #

Deshalb können wir abschließen

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #