Beweisen Sie, dass die Kurven x = y ^ 2 und xy = k im rechten Winkel schneiden, wenn 8k ^ 2 = 1?

Antworten:

#-1#

Erläuterung:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

Die beiden Kurven sind

#x = y ^ 2 #

und

#x = sqrt (1/8) / y oder x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

für die Kurve #x = y ^ 2 #die Ableitung in Bezug auf # y # ist # 2y #.

für die Kurve #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #die Ableitung in Bezug auf # y # ist # -sqrt (1/8) y ^ -2 #.

Der Punkt, an dem sich die beiden Kurven treffen, ist wann # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

#y = sqrt (1/2) #

schon seit #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

Der Punkt, an dem sich die Kurven treffen, ist # (1/2, sqrt (1/2)) #

wann #y = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

die Steigung der Tangente an die Kurve #x = y ^ 2 # ist # 2sqrt (1/2) oder 2 / (sqrt2) #.

wann #y = sqrt (1/2) #, # -sqrt (1/8) y ^ -2 = -2sqrt (1/8) #.

die Steigung der Tangente an die Kurve #xy = sqrt (1/8) # ist # -2sqrt (1/8) oder -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = -1 #

Wir suchen einen Zustand von # k # so dass die Kurven # x = y ^ 2 # und # xy = k # "rechtwinklig schneiden". Mathematisch bedeutet dies, dass die Kurven orthogonal sein sollten, was wiederum bedeutet, dass an allen Punkten die Tangenten an den Kurven anliegen irgendein gegebener Punkt sind senkrecht.

Wenn wir die Kurvenfamilie auf verschiedene Werte von untersuchen # k # wir bekommen:

Wir stellen sofort fest, dass wir nach einem einzelnen Punkt suchen, an dem die Tangente senkrecht ist, sodass die Kurven im Allgemeinen nicht an allen Punkten orthogonal sind.

Lassen Sie uns zuerst das finden Single Koordinate, # P #des Schnittpunkts, der gleichzeitig die Lösung von:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Durch Einsetzen von Gleichung A in B erhalten wir:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = Wurzel (3) (k) #

Und so legen wir die Schnittpunktkoordinate fest:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

Wir benötigen auch die Gradienten der Tangenten an dieser Koordinate. Für die erste Kurve:

# y ^ 2 = x => 2y dy / dx = 1 #

Also der Gradient der Tangente, # m_1 #zur ersten Kurve bei # P # ist:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1/2 k ^ (- 1/3) #

Ähnlich für die zweite Kurve:

# xy = k => y = k / x => dy / dx = -k / x ^ 2 #

Also der Gradient der Tangente, # m_2 #zur zweiten Kurve bei # P # ist:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# = -k ^ (- 1/3) #

Wenn diese beiden Tangenten senkrecht sind, müssen wir Folgendes tun:

# m_1m_2 = -1 #

#:. (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-k ^ (- 1/3)) = -1 #

#:. k ^ (- 2/3) = 2 #

#:. (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:. k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:. (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:. 1 / k ^ 2 = 8 #

Das führt zum gegebenen Ergebnis:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

Und mit diesem Wert von # k #