Bitte erklären Sie, dies ist eine lineare Transformation oder nicht?

Antworten:

Siehe unten

Erläuterung:

Eine Transformation #T: V bis W # wird als linear bezeichnet, wenn es die folgenden zwei Eigenschaften hat:

• #T (v_1 + v_2) = T (v_1) + T (v_2) # für jeden # v_1, v_2 in V #
• #T (cv) = cT (v) # für jeden #v in V # und jeder Skalar # c #

Beachten Sie, dass die zweite Eigenschaft dies voraussetzt # V # ist mit zwei Operationen der Summen- und Skalarmultiplikation eingebettet. In unserem Fall ist die Summe die Summe zwischen Polynomen und die Multiplikation die Multiplikation mit reellen Zahlen (ich gehe davon aus).

Wenn Sie ein Polynom ableiten, senken Sie dessen Grad um #1#also, wenn Sie ein Polynom von Grad ableiten #4# zweimal erhalten Sie ein Polynom von Grad #2#. Wenn wir von der Menge aller Polyinome mit vier Graden sprechen, meinen wir eigentlich die Menge aller Polynome des Grades maximal vier. In der Tat ist ein generisches Grad-4-Polynom

# a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

Wenn Sie das Polynom Grad zwei möchten # 3 + 6x-5x ^ 2 #Zum Beispiel wählen Sie einfach

# a_0 = 3, a_1 = 6, a_2 = -5, a_3 = a_4 = 0 #

Nachdem dies gesagt wurde, identifizieren wir den Polynomraum des Grades # n # mit # P_n #und definieren Sie unseren Operator #T: P_4 bis P_2 # so dass #T (f (x)) = f '' (x) #

Lassen Sie uns die erste Eigenschaft beweisen: Nehmen wir an, wir haben die Polynome

# p_1 = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

und

# p_2 = b_0 + b_1x + b_2x ^ 2 + b_3x ^ 3 + b_4x ^ 4 #

Das bedeutet, dass # p_1 + p_2 # gleich

# (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + (a_2 + b_2) x ^ 2 + (a_3 + b_3) x ^ 3 + (a_4 + b_4) x ^ 4 #

#T (p_1 + p_2) # ist die zweite Ableitung dieses Polynoms, so ist es

# 2 (a_2 + b_2) +6 (a_3 + b_3) x + 12 (a_4 + b_4) x ^ 2 #

(Ich habe zweimal die Potenzregel für die Ableitung angewendet: die zweite Ableitung von # x ^ n # ist #n (n-1) x ^ {n-2} #)

Jetzt lassen Sie uns berechnen #T (p_1) #die zweite Ableitung von # p_1 #:

# 2a_2 + 6a_3x + 12a_4x ^ 2 #

Ähnlich, #T (p_2) #die zweite Ableitung von # p_2 #ist

# 2b_2 + 6b_3x + 12b_4x ^ 2 #

Wenn Sie diesen Ausdruck zusammenfassen, können Sie sehen, dass wir es haben

#T (p_1 + p_2) = T (p_1) + T (p_2) #

Die zweite Eigenschaft wird auf ähnliche Weise dargestellt: ein Polynom gegeben

#p = a_0 + a_1x + a_2x ^ 2 + a_3x ^ 3 + a_4x ^ 4 #

wir haben für jede reelle Zahl # c #,

#cp = ca_0 + ca_1x + ca_2x ^ 2 + ca_3x ^ 3 + ca_4x ^ 4 #

seine zweite Ableitung ist also

# 2ca_2 + 6ca_3x + 12ca_4x ^ 2 #

was wiederum das gleiche ist wie das Rechnen #T (p) #und multipliziert dann alles mit # c #d.h. #T (cp) = cT (p) #