Wie finde ich die erste Ableitung von f (x) = 2 sin (3x) + x?

Antworten:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Erläuterung:

Unterscheiden Sie jeden Begriff:

# (d (x)) / dx = 1 #

Mit den Kettenregeln für den zweiten Begriff haben wir:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Mit:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Zusammen haben wir:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Antworten:

Wir werden gebeten, die Ableitung von zu finden #f (x) = 2sin (3x) + x # unter Verwendung der Definition: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Erläuterung:

Wir müssen bewerten:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h))) (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x)) / h #.

Dies wird umständlich sein. Lassen Sie uns den Ausdruck in zwei einfachere Teile aufteilen, um es unkomplizierter aussehen zu lassen. Wir nehmen den trigonometrischen Teil und den linearen Teil getrennt auf.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Ich gehe davon aus, dass Sie zeigen können, dass die zweite Grenze ist #1#. Das anspruchsvollere Limit ist das Limit mit trigonometrischen Funktionen.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (Überkreuzung ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sin3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Wenn wir also die beiden Teile zusammensetzen, bekommen wir:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #