Was sind die vertikalen und horizontalen Asymptoten von y = (x + 3) / (x ^ 2-9)?

Antworten:

vertikale Asymptote bei # x = 3 #

horizontale Asymptote bei # y = 0 #

Loch an # x = -3 #

Erläuterung:

#y = (x + 3) / (x ^ 2-9) #

Erster Faktor:

#y = ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) #

Da der Faktor # x + 3 # annulliert das ist eine Diskontinuität oder ein Loch, der Faktor # x-3 # storniert nicht, es ist also eine Asymptote:

# x-3 = 0 #

vertikale Asymptote bei # x = 3 #

Lassen Sie uns nun die Faktoren ausschalten und sehen, was die Funktionen bewirken, da x im Positiven oder Negativen sehr groß wird:

#x -> + -oo, y ->? #

#y = Abbruch ((x + 3)) / (Abbruch ((x + 3)) (x-3)) = 1 / (x-3) #

Wie Sie sehen, ist die reduzierte Form gerade #1# über eine bestimmte Anzahl # x #können wir das ignorieren #-3# weil wenn # x # ist riesig es ist unbedeutend.

Wir wissen das: #x -> + - oo, 1 / x -> 0 # Daher hat unsere ursprüngliche Funktion dasselbe Verhalten:

#x -> + - oo, ((x + 3)) / ((x + 3) (x-3)) -> 0 #

Daher hat die Funktion eine horizontale Asymptote # y = 0 #

Graph {y = (x + 3) / (x ^ 2-9) -10, 10, -5, 5}