Was ist das Orthozentrum eines Dreiecks mit Scheitelpunkten bei O (0,0), P (a, b) und Q (c, d) #?

Antworten:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Erläuterung:

Ich habe diese alte Frage eher verallgemeinert als eine neue Frage zu stellen. Ich habe das schon einmal für eine Circumcenter-Frage gemacht und es ist nichts Schlimmes passiert, also setze ich die Serie fort.

Wie zuvor habe ich einen Scheitelpunkt an den Ursprung gesetzt, um zu versuchen, die Algebra veränderbar zu halten. Ein beliebiges Dreieck lässt sich leicht übersetzen und das Ergebnis leicht zurückübersetzen.

Das Orthozentrum ist der Schnittpunkt der Höhen eines Dreiecks. Ihre Existenz basiert auf dem Satz, dass sich die Höhen eines Dreiecks an einem Punkt schneiden. Wir sagen die drei Höhen sind gleichzeitig.

Wir wollen beweisen, dass die Höhen von Triangle OPQ gleichzeitig sind.

Der Richtungsvektor der Seite OP ist # P-O = P = (a, b), # Das ist nur eine schicke Art zu sagen, dass die Steigung # b / a # (aber der Richtungsvektor funktioniert auch wenn # a = 0 #). Wir erhalten den Richtungsvektor der Senkrechten, indem wir hier Koordinaten austauschen und eine negieren # (b, -a). # Senkrecht wird durch das Nullpunktprodukt bestätigt:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Die parametrische Gleichung der Höhe von OP nach Q lautet somit:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # wirklich # t #

Die Höhe von OQ bis P ist ähnlich

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # wirklich # u #

Der Richtungsvektor von PQ ist # Q-P = (c-a, d-b) #. Die Senkrechte durch den Ursprung, d. H. Die Höhe von PQ, ist somit

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # wirklich # v #

Schauen wir uns das Treffen der Höhen von OP und PQ an:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Das sind zwei Gleichungen in zwei Unbekannten. # t # und # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Wir werden den ersten mit multiplizieren #ein# und der zweite vorbei # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Hinzufügen, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab - bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Viel cool mit dem Punktprodukt im Zähler und Kreuzprodukt im Nenner.

Das Treffen ist das vermutete Orthozentrum # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Lassen Sie uns als nächstes das Treffen der Höhen von OQ und PQ finden. Durch die Symmetrie können wir einfach tauschen #ein# mit # c # und # b # mit # d #. Wir rufen das Ergebnis an # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b - d, c - a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d - b, a - c) #

Wir haben diese beiden Kreuzungen gleich, # (x ', y') = (x, y), # Wir haben also bewiesen, dass die Höhen gleichzeitig sind. #quad sqrt #

Wir haben die Benennung der gemeinsamen Kreuzung der Orthozentrum und wir haben seine Koordinaten gefunden.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #