Wie kann man ohne die Regel des Krankenhauses lösen? lim_ (x -> 0) (xcos ^ 2 (x)) / (x + tan (3x))

Antworten:

#1/4#

Erläuterung:

# "Sie können die Taylor-Serienerweiterung verwenden." #

#cos (x) = 1 - x ^ 2/2! + x ^ 4/4! - … #

#tan (x) = x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + … #

# => cos ^ 2 (x) = 1 - x ^ 2 + x ^ 4 (1/4 + 2/24) … #

# = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 … #

# => tan (3x) = 3x + 9 x ^ 3 + … #

# => (x * cos ^ 2 (x)) / (x + tan (3x)) = #

# (x - x ^ 3 + x ^ 5/3 …) / (4x + 9 x ^ 3 + …) #

# x-> 0 => "höhere Kräfte verschwinden" #

# = (x - …) / (4x + …) #

#= 1/4#

Antworten:

Siehe unten.

Erläuterung:

# (xcos ^ 2x) / (x + tan3x) = 1 / (1+ (sin3x) / (xcos3x)) * cos ^ 2x #

# = 1 / (1 + 3 ((sin3x) / (3x)) * 1 / (cos3x)) * cos ^ 2x #

Beachten Sie, dass #lim_ (xrarr0) (sin3x) / (3x) = 1 # und #lim_ (xrarr0) cosx = 1 #

Also im Limit haben wir:

#1/(1+3(1) * 1/1) * (1)^2 = 1/(1+3) = 1/4#