Wie findet man das Volumen des Volumens, das durch Drehen des um die y = 4 gedrehten Bereichs y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) entsteht?

Antworten:

# V = 685 / 32pi # kubische Einheiten

Erläuterung:

Skizzieren Sie zuerst die Diagramme.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-abfangen

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Und das haben wir # {(x = 0), (x = 1):} #

Also abfangen sind #(0,0)# und #(1,0)#

Holen Sie sich den Scheitelpunkt:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Also ist Scheitelpunkt um #(1/2,-1/4)#

Wiederholen Sie den vorherigen:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Und das haben wir # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Also abfangen sind # (sqrt (3), 0) # und # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Also ist Scheitelpunkt um #(0,3)#

Ergebnis:

Wie bekomme ich die Lautstärke? Wir werden das verwenden Disc-Methode!

Diese Methode ist einfach das: # "Volume" = piint_a ^ von ^ 2dx #

Die Idee ist einfach, aber Sie müssen sie intelligent einsetzen.

Und das werden wir tun.

Lasst uns unser Volumen nennen # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Ich nehme # (4-J) # da # y # ist nur der Abstand vom # x #-Achse zur Kurve, wohingegen wir den Abstand von der Linie wollen # y = 4 # zur kurve!

Jetzt zu finden #ein# und # b #Wir setzen gleich # y_1 # und # y_2 # und dann für lösen # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

Schon seit #ein# kommt davor # b #, # => a = -1 # und # b = 1,5 #

# => V_1 = Piint _ (-1) ^ (1,5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1,5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = Piint _ (-1) ^ (1,5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x stars_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Machen Sie dasselbe für # V_2 #:

# V_2 = Piint_-1 ^ 1,5 (4-y_2) ^ 2dx = Piint_1 -1,5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = Piint_ (-1) ^ (1,5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => Piint (-1) ^ (1,5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = Farbe (blau) ((685pi) / 32) #