Das Dreieck A hat eine Fläche von 9 und zwei Seiten der Längen 6 und 9. Das Dreieck B ähnelt dem Dreieck A und hat eine Seite der Länge 12. Was sind die maximal und minimal möglichen Flächen des Dreiecks B?

Antworten:

Mindest # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca. 5,922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca. 85.39448839 … #

Erläuterung:

Gegeben:

# Bereich _ { triangleA} = 9 #

Seitenlängen von # triangleA # sind # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Seitenlängen von # triangleB # sind # U, V, W #

#U = 12 #

# Dreieck A Text {ähnlich} Dreieck B #

zuerst lösen für # Z #:

Verwenden Sie die Formel von Heron: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # woher # S = frac {A + B + C} {2} #, Sub in Bereich 9 und Seitenlängen 6 und 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Lassen # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

Verwenden Sie eine quadratische Formel

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Verwerfen Sie die negativen Lösungen als # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Somit # Z ca. 3.895718613 # und # 14.79267983 # beziehungsweise

# weil Dreieck A Text {ähnlich} Dreieck B, Bereich _ { Dreieck B} = k ^ 2 * Bereich _ { DreieckA} # woher # k # ist der Größenänderungsfaktor

# k = 12 / s # in aufsteigender Reihenfolge angeordnet: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

oder in dezimaler Form: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Je größer der Wert von # s # Je kleiner der Bereich und desto kleiner der Wert von # s # Je größer der Bereich,

Um die Fläche zu minimieren, wählen Sie # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

und zu maximieren wählen # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Also minimale Fläche # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ca. 5,922584784 … #

und die maximale Fläche # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ca. 85.39448839 … #