Frage # 242a2

Antworten:

Für die im Kondensator zur Zeit gespeicherte Energie # t # wir haben #E (t) == E (0) exp (-2t / (CR)) # woher #E (0) # ist die anfängliche Energie, # C # die Kapazität und # R # der Widerstand des Drahtes, der die beiden Seiten des Kondensators verbindet.

Erläuterung:

Lassen Sie uns zunächst einige Kernkonzepte durchgehen, bevor Sie diese Frage beantworten. Natürlich müssen wir die im Kondensator gespeicherte Energie oder die im elektrischen Feld gespeicherte Energie kennen, die durch die im Kondensator gespeicherte Ladung erzeugt wird. Dafür haben wir die Formel # E = 1 / 2Q ^ 2 / C # mit # C # die Kapazität des Kondensators und # Q # die Ladung wird auf einer der Kondensatorplatten gespeichert. 1

Um zu wissen, wie die Energie abnimmt, müssen wir wissen, wie die Ladung abnimmt. Dafür gibt es einige Dinge, die wir beachten sollten. Das Erste ist, dass die Ladung nur sinken kann, wenn sie irgendwo hingehen kann. Das einfachste Szenario ist, dass die beiden Platten über einen Draht miteinander verbunden sind, so dass die Platten Ladung austauschen können, sodass sie neutral werden. Zweitens: Wenn wir davon ausgehen, dass der Draht keinen Widerstand hat, könnte sich die Ladung sofort bewegen, so dass die Energie bei dieser Geschwindigkeit ebenfalls auf null abfallen würde. Da dies eine langweilige Situation ist und außerdem nicht wirklich realistisch ist, gehen wir davon aus, dass der Draht einen gewissen Widerstand hat # R #, die wir modellieren können, indem die Kondensatorplatten über einen Widerstand mit Widerstand verbunden werden # R # widerstandlose Drähte verwenden.

Was wir jetzt haben, ist eine sogenannte RC-Schaltung, wie unten zu sehen ist. Um herauszufinden, wie sich die gespeicherte Ladung ändert, müssen wir einige Differentialgleichungen aufschreiben. Ich bin mir nicht sicher, wie gut der Leser mit Mathematik umgehen kann, also lassen Sie es mich wissen, wenn Ihnen der folgende Abschnitt nicht klar ist. Ich werde versuchen, es näher zu erläutern.

Als Erstes stellen wir fest, dass wir, wenn wir den Draht entlanglaufen, zwei elektrische Spannungssprünge (Spannung) erfahren, nämlich am Kondensator und am Widerstand. Diese Sprünge sind durch gegeben # DeltaV_C = Q / C # und # DeltaV_R = IR # jeweils 1. Wir stellen fest, dass anfangs kein Strom vorhanden ist, also die Potentialdifferenz über dem Widerstand 0 ist. Wie wir jedoch sehen werden, wird es einen Strom geben, wenn sich die Ladungen zu bewegen beginnen. Nun stellen wir fest, dass wir, wenn wir von einem Punkt aus um die Rennstrecke laufen, wieder am selben Punkt landen, weil wir uns in einer Rennstrecke befinden. An diesem Punkt ist das Potenzial beide Male gleich, weil es sich um denselben Punkt handelt. (Wenn ich sage, wir laufen die Strecke entlang, meine ich das nicht wörtlich, stattdessen untersuchen wir die Spannungssprünge auf der Strecke zu einem bestimmten Zeitpunkt. Daher vergeht keine Zeit, wenn man die Strecke entlanggeht. Daher gilt das Argument, auch wenn die Spannung ändert sich mit der Zeit.)

Dies bedeutet, dass der Gesamtsprungssprung Null ist. So # 0 = DeltaV_R + DeltaV_C = IR + Q / C #. Jetzt überlegen wir uns was #ICH#ist der Strom. Strom bewegt sich Ladung, er nimmt positive Ladung von einer Kondensatorplatte ab und gibt die andere an. (Tatsächlich ist es meistens umgekehrt, aber für die Mathematik dieses Problems spielt es keine Rolle.) Dies bedeutet, dass der Strom der Änderung der Ladung auf den Platten entspricht, mit anderen Worten # I = (dQ) / dt #. Wenn wir dies in die obige Gleichung einsetzen, erhalten wir das # (dQ) / dtR + Q / C = 0 #, was bedeutet # (dQ) / dt = -Q / (CR) #. Dies ist eine sogenannte lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Sie schreibt die Änderung der Ladung um den Wert der Ladung zu diesem Zeitpunkt auf eine lineare Weise vor, was bedeutet, dass, wenn die Ladung doppelt so groß wäre, die Änderung der Ladung ebenfalls doppelt so groß wäre. Wir können diese Gleichung durch geschickte Verwendung des Kalküls lösen.

# (dQ) / dt = -Q / (CR) #, wir nehmen an # Qne0 #was es anfangs nicht ist, und wie sich herausstellen wird, wird es niemals sein. Damit können wir sagen # 1 / Q (dQ) / dt = -1 / (CR) #. Wissen # Q # irgendwann # t # (mit anderen Worten #Q (t) #Wir integrieren die Gleichung wie folgt: # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_0 ^ t-1 / (CR) dt '= - t / (CR) # schon seit # C # und # R # sind Konstanten. # int_0 ^ t1 / (Q (t ')) (dQ (t')) / (dt ') dt' = int_ (Q (0)) ^ (Q (t)) (dQ) / Q = ln ((Q (t)) / (Q (0))) # über Änderung von Variablen. Das heisst #ln ((Q (t)) / (Q (0))) = - t / (CR) #, so #Q (t) = Q (0) exp (-t / (CR)) #.

Zum Schluss müssen wir dies wieder in die Gleichung für die Energie einsetzen:

#E (t) = 1/2 (Q (t) ^ 2) / C = 1/2 (Q (0) ^ 2) / Cexp (-2t / (CR)) = E (0) exp (-2t / (CR)) #.

Die Energie fällt also exponentiell durch die Zeit. In der Tat sehen wir das wenn # R # waren auf null zu gehen, #E (t) # würde sofort auf 0 gehen.

1 Griffiths, David J. Einführung in die Elektrodynamik. Vierte Edition. Pearson Education Limited, 2014