Angenommen, K und L sind zwei verschiedene reale Vektorraum V des Unterraums. Wenn dim (K) = dim (L) = 4 gegeben ist, wie können minimale Abmessungen für V bestimmt werden?

Antworten:

5

Erläuterung:

Lass die vier Vektoren # k_1, k_2, k_3 # und # k_4 # bilden eine Basis des Vektorraums # K #. Schon seit # K # ist ein Unterraum von # V #Diese vier Vektoren bilden eine linear unabhängige Menge # V #. Schon seit # L # ist ein Unterraum von # V # anders als # K #Es muss mindestens ein Element geben # l_1 # im # L #, das ist nicht in # K #Das heißt, es ist keine lineare Kombination von # k_1, k_2, k_3 # und # k_4 #.

Also das Set # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # ist ein linearer unabhängiger Satz von Vektoren in # V #. Also die Dimensionalität von # V # ist mindestens 5!

In der Tat ist es möglich für die Spannweite von # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # der gesamte Vektorraum sein # V # - so dass die Mindestanzahl der Basisvektoren 5 sein muss.

Nur als Beispiel # V # Sein # RR ^ 5 # und lass # K # und # V # besteht aus Vektoren der Formulare

# ((alpha), (beta), (gamma), (Delta), (0)) # und # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

Es ist leicht zu sehen, dass die Vektoren

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#und #((0),(0),(0),(0),(0))#

bilden eine Basis von # K #. Hängen Sie den Vektor an #((0),(0),(0),(0),(0))#und Sie erhalten eine Basis für den gesamten Vektorraum,