Was ist die Periode von f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42)?

Antworten:

#T = 504pi #

Erläuterung:

Zuallererst wissen wir das #sin (x) # und #cos (x) # habe eine Periode von # 2pi #.

Daraus können wir das ableiten #sin (x / k) # hat eine Periode von # k * 2pi #Das kannst du denken # x / k # ist eine Variable, die um läuft # 1 / k # die Geschwindigkeit von # x #. So zum Beispiel # x / 2 # läuft mit der halben Geschwindigkeit von # x #und es wird brauchen # 4pi # eine Periode haben, statt # 2pi #.

In Ihrem Fall, #sin (t / 36) # wird eine Periode von haben # 72pi #, und #cos (t / 42) # wird eine Periode von haben # 84pi #.

Ihre globale Funktion ist die Summe zweier periodischer Funktionen. Per Definition, #f (x) # ist periodisch mit Punkt # T # ob # T # ist die kleinste Zahl so

#f (x + T) = f (x) #

und in Ihrem Fall übersetzt dies in

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

Von hier aus können Sie sehen, dass die Periode von #f (x) # kann nicht sein # 72pi # Noch # 84pi #, weil nur einer der beiden Ausdrücke eine ganze Wendung macht, während der andere einen anderen Wert annimmt. Und da brauchen wir beide Um eine ganze Runde zu machen, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache zwischen den beiden Perioden nehmen:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

Antworten:

# 1512pi #.

Erläuterung:

Das am wenigsten positive P (falls vorhanden), so dass f (t + P) = f (t) ist, ist passend

nannte die Periode von f (t). Für dieses P gilt f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #.

Zum #sin t und cos t, P = 2pi. #

Zum #sin kt und cos kt, P = 2 / kpi. #

Hier, der Zeitraum für #sin (t / 36) # ist pi / 18 # und

zum #cos (t / 42) #, es ist # pi / 21 #.

Für die gegebene zusammengesetzte Schwingung f (t) sollte die Periode P sein

so dass es auch die Frist für die separaten Bedingungen ist.

Dieses P ist gegeben durch # P = M (pi / 18) = N (pi / 21). Für M = 42 und N = 36

# P = 1512 pi #

Nun sehen Sie, wie es funktioniert.

#f (t + 1512pi) #

# = sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t).

Wenn halbe P auf 761 und das ist ungerade. Also ist P = 1512 so wenig wie möglich

sogar ein Vielfaches von #Pi#.