Was ist cos [sin ^ (-1) (- 1/2) + cos ^ (-1) (5/13)]?

Antworten:

#rarrcos cos ^ (-1) (5/13) + sin ^ (-1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Erläuterung:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (-1) (5/13) -sin ^ (-1) (1/2) #

# = cos cos ^ (-1) (5/13) -cos ^ (-1) (sqrt3 / 2) #

Jetzt mit #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, wir bekommen,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (-1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sq (3) / 2) ^ 2)))) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Antworten:

Nach der Summenwinkelformel ist das

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Erläuterung:

#x = cos (arcsin (1/2) + arccos (5/13)) #

Diese Fragen sind genug mit der funky inversen Funktionsnotation. Das eigentliche Problem bei Fragen wie dieser ist, dass es im Allgemeinen am besten ist, die inversen Funktionen als mehrwertig zu behandeln, was bedeutet, dass der Ausdruck auch mehrere Werte hat.

Wir können auch den Wert von betrachten # x # für den Hauptwert der inversen Funktionen, aber ich überlasse das anderen.

Wie auch immer, dies ist der Cosinus der Summe von zwei Winkeln, und das bedeutet, dass wir die Summenwinkelformel verwenden:

#cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)) #

Cosinus von inversem Cosinus und Sinus von inversem Sinus sind einfach. Der Kosinus von inversem Sinus und Sinus von inversem Cosinus ist ebenfalls unkompliziert, aber da kommt das vielwertige Problem ins Spiel.

Es wird im Allgemeinen zwei nicht-koterminale Winkel geben, die einen bestimmten Kosinus, Negationen voneinander, gemeinsam haben, deren Sinus Negationen voneinander sein werden. Im Allgemeinen gibt es zwei nicht-koterminale Winkel, die einen bestimmten Sinus-Ergänzungswinkel gemeinsam haben und Cosinus haben, die Negationen voneinander sind. Also beide Möglichkeiten, mit einem # pm #. Unsere Gleichung wird zwei haben # pm # und es ist wichtig zu beachten, dass sie unabhängig und nicht verbunden sind.

Lass uns nehmen #arcsin (-1/2) # zuerst. Dies ist natürlich eines der Trigger-Klischees, # -30 ^ circ # oder # -150 ^ circ #. Die Cosinus werden sein # + sqrt {3} / 2 # und # - sqrt {3} / 2 # beziehungsweise.

Wir müssen den Winkel nicht wirklich berücksichtigen. Wir können an das rechtwinklige Dreieck mit gegenüberliegender 1 und Hypotenuse 2 denken und kommen nebeneinander # sqrt {3} # und Cosinus # pm sqrt {3} / 2 #. Oder wenn das zu viel nachdenkt, da # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # dann #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # was lässt uns mechanisch sagen:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Ähnlich, #5,12,13# Pythagorean Triple ist hier also beschäftigt

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #