Die reellen Zahlen a, b und c erfüllen die Gleichung: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Wie können Sie beweisen, dass a = 2b = c ist, wenn Sie perfekte Quadrate bilden?

Antworten:

# a = 2b = 3c #, Siehe die Erklärung und den Beweis unten.

Erläuterung:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Beachten Sie, dass die Koeffizienten mit Ausnahme von ^ 2, d. H.: 3, alle gerade sind, und wie folgt umschreiben, um für das Factoring eine Gruppe zu bilden:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Wir haben einen perfekten quadratischen Term plus zweimal perfektes Quadrat eines anderen Terms gleich Null. Damit dies wahr ist, muss jeder Term der Summe gleich null sein. Dann gilt:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # und # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # und # a-3c = 0 #

# a = 2b # und # a = 3c #

somit:

# a = 2b = 3c #

Also bewiesen.