Ein Superheld startet sich von der Spitze eines Gebäudes mit einer Geschwindigkeit von 7,3 m / s in einem Winkel von 25 ° über der Horizontalen. Wenn das Gebäude 17 m hoch ist, wie weit wird es horizontal gehen, bevor es den Boden erreicht? Was ist seine endgültige Geschwindigkeit?

Ein Diagramm davon würde folgendermaßen aussehen:

Was ich tun würde, ist eine Liste, was ich weiß. Wir werden nehmen negativ wie unten und als positiv verlassen.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

ERSTER TEIL: DIE AUFSTIEG

Was ich tun würde ist, wo das zu finden ist Apex ist zu bestimmen # Deltavecy #und dann in einem freien Fall arbeiten. Beachten Sie, dass an der Spitze, #vecv_f = 0 # weil die Person ändert die Richtung aufgrund der Dominanz der Schwerkraft bei der Verringerung der vertikalen Komponente der Geschwindigkeit durch null und in die Negative.

Eine Gleichung mit # vecv_i #, # vecv_f #, und # vecg # ist:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

wo wir sagen #vecv_ (fy) = 0 # an der Spitze

Schon seit #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # und #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # und diese Gleichung fordert uns in der Tat zu verwenden #g <0 #.

Für einen Teil 1:

#color (blau) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = Farbe (blau) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

woher #vecv_ (fy) = 0 # ist die Endgeschwindigkeit für einen Teil 1.

Es sei daran erinnert, dass eine vertikale Geschwindigkeit a hat # sintheta # Komponente (zeichnen Sie ein rechtwinkliges Dreieck und erhalten Sie das #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # Beziehung).

#color (grün) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

Jetzt haben wir # Deltavecy # und das wissen wir # vecv_y # hat die Richtung geändert, können wir annehmen freier Fall tritt auf

Das Gesamtgröße der fall ist #color (grün) (h + Deltavecy) #. Das können wir zum Teil nutzen 2.

Ich bekomme # Deltavecy # sich handeln um # "0.485 m" # und #h + Deltavecy # sich handeln um #Farbe (blau) ("17,485 m") #.

TEIL ZWEI: DER FREIE FALL

Wir können das wieder behandeln # y # Richtung unabhängig von der # x # Richtung, da #veca_x = 0 #.

Erinnern Sie sich an der Spitze daran #color (grün) (vecv_ (iy) = 0) #, das ist die Anfangsgeschwindigkeit für einen Teil 2und war zum Teil die Endgeschwindigkeit 1. Jetzt können wir eine andere 2D-Kinematikgleichung verwenden. Denken Sie daran, dass die Gesamthöhe nicht ist # Deltavecy # Hier!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freier Fall" ^ 2) + abbrechen (v_ (iy) t_ "freier Fall") ^ (0) #

Jetzt können wir einfach die Zeit lösen, die erforderlich ist, um vom Scheitelpunkt aus den Boden zu treffen.

#color (grün) (t_ "freier Fall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = Farbe (grün) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2 theta) / (2g))) / g))

und natürlich ist die Zeit offensichtlich nicht immer negativ, so dass wir die negative Antwort ignorieren können.

… und wir kommen dorthin.

DRITTER TEIL: LÖSUNG FÜR DIE HORIZONTALE ENTFERNUNG

Wir können dieselbe Kinematikgleichung wie die zuvor untersuchte verwenden. Eines der Dinge, die wir uns vorgenommen haben, ist # Deltax #, welches ist:

#color (blau) (Deltax) = abbrechen (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

Und wie zuvor, verwenden Sie eine Triggerrelation, um die # x # Komponente (# costheta #).

# = Farbe (blau) (vecv_icostheta * t_ "Overall")> 0 #

woher #t_ "gesamt" # ist nicht das, was wir zum Teil bekommen haben 2, wird aber die Zeit einschließen #t_ "Sprung" # vom Gebäude bis zur Spitze des Fluges gehen und #t_ "freier Fall" # das wir früher erworben haben.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "spring" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "spring" #

Mit #Deltay ~~ "0.485 m" #. Wenn wir dies mit der quadratischen Gleichung lösen, würde sich ergeben:

#t_ "spring" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

Fügen Sie die Zeit für den Scheitelpunkt dem Boden hinzu und Sie sollten sich damit auseinandersetzen #Farbe (blau) ("2.20 s") # für den gesamten Flug. Nennen wir das mal #t_ "gesamt" #.

#t_ "Overall" = t_ "Sprung" + t_ "Freier Fall" #

Verwenden #t_ "gesamt" #, Ich bekomme #Farbe (blau) (Deltavecx ~~ "14,58 m") #.

TEIL VIER: LÖSUNG FÜR DIE ENDLICHE GESCHWINDIGKEIT

Das erfordert jetzt ein bisschen mehr Nachdenken. Wir wissen das #h = "17 m" # und wir haben # Deltax #. Daher können wir den Winkel in Bezug auf den horizontalen Boden bestimmen.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#Farbe (blau) (Theta '= Arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Beachten Sie, wie wir verwendet haben #h + Deltavecy # da wir tatsächlich vor dem Fall aufwärts gesprungen sind und nicht geradeaus gesprungen sind. Also der Winkel # theta # beinhaltet # Deltax # und das Gesamtgrößeund wir nehmen die Größe der Gesamthöhe dafür.

Und schließlich da # vecv_x # hat sich die ganze Zeit nicht geändert (hier ignorieren wir den Luftwiderstand):

#color (grün) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= Farbe (grün) (vecv_icostheta')> 0 #

woher # vecv_i # ist die Anfangsgeschwindigkeit vom Teil 1. Jetzt müssen wir nur noch wissen was #vecv_ (fy) # ist teilweise 2. Gehen Sie zurück zum Anfang und sehen Sie:

#vecv_ (fy) ^ 2 = Abbrechen (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Daher wird dies zu:

#color (grün) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

Denken Sie daran, dass wir definiert haben nach unten als negativ, so # h + Deltay <0 #.

Okay, wir sind fast da. Wir werden gefragt # vecv_f #. Deshalb beenden wir mit der Satz des Pythagoras.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (blau) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Insgesamt, #color (blau) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

Und das wäre alles! Überprüfen Sie Ihre Antwort und sagen Sie mir, ob es geklappt hat.

Hier die vel. der Projektion, # v = 7,3 ms ^ -1 #

der Winkel. der Projektion,# alpha = 25 ^ 0 # über der Horizontalen

Die aufwärts gerichtete vertikale Komponente von vel der Projektion,# vsinalpha = 7,3 * sin25 ^ 0 = 7,3 * 0,42ms ^ -1 ~~ 3,07ms ^ -1 #

Das Gebäude ist 17 m hoch, die vertikale Nettoverschiebung, die den Boden erreicht # h = -17m # wie der Superheld sich nach oben projizierte (hier positiv aufgenommen)

Wenn die Flugzeit, d. H. Die Zeit zum Erreichen des Bodens, als T gilt

dann mit der Formel #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # wir können haben

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

beide Seiten durch 4,9 teilen wir bekommen

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~ 2,20s #

(negative Zeit verworfen)

Die horizontale Verschiebung des Helden vor dem Erreichen des Bodens wird also sein

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7,3cos (25 ^ 0) ~ 14,56m #

Berechnung der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Erreichens des Bodens

Geschwindigkeit der vertikalen Komponente zum Zeitpunkt des Bodens

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17) #

Wieder horizontale Komponente der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Erreichens des Bodens

# => v_x = ucosalpha #

Also resultierende Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Erreichens des Bodens

# v_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + u ^ 2cos ^ 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "m / s" #

Richtung von # v_r # mit der Horizontalen# = tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7,3 ^ 2sin ^ 25 + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (7,3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "mit der Horizontalen nach unten" #

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