Welches ist der größte Zylinder mit Radius r und Höhe h, der in die Radiuskugel R passen kann?

Antworten:

Wenn wir wählen, wird das maximale Volumen des Zylinders ermittelt

# r = sqrt (2/3) R #, und #h = (2R) / sqrt (3) #

Diese Wahl führt zu einem maximalen Zylindervolumen von:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Erläuterung:

``

Stellen Sie sich einen Querschnitt durch die Mitte des Zylinders vor und lassen Sie den Zylinder die Höhe haben # h #und Volumen # V #, dann haben wir;

# h # und # r # kann variiert werden und # R # ist eine Konstante. Das Volumen des Zylinders ergibt sich aus der Standardformel:

# V = pir ^ 2h #

Der Radius der Kugel, # R # ist die Hypotenuse des Dreiecks mit Seiten # r # und # 1 / 2h #Mit Pythagoras haben wir also:

# R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

Wir können dies in unsere Volumengleichung einsetzen, um zu erhalten:

# V = pir ^ 2h #

#:. V = pi (R ^ 2-1 / 4h ^ 2) h #

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

Wir haben jetzt das Volumen, # V # als Funktion einer einzelnen Variablen # h #, die wir zu maximieren suchen # h # so differenzierend # h # gibt:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

Mindestens oder maximal # (dV) / (dh) = 0 # so:

# pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 #

#:. 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:. h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:. h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (offensichtlich wollen wir te + ve root)

#:. h = (2R) / sqrt (3) #

Mit diesem Wert von # h # wir bekommen:

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:. r = sqrt (2/3) R #

Wir sollten überprüfen, ob dieser Wert zu einem maximalen Volumen (und nicht zu einem maximalen Volumen) führt. Dies tun wir, indem wir die zweite Ableitung betrachten:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:. (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

Und wie #h> 0 # Wir schließen daraus # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # und dass der identifizierte kritische Punkt zu einem gesuchten Maximum führt.

Daher wird das maximale Volumen des Zylinders ermittelt, wenn wir wählen

# r = sqrt (2/3) R #, und #h = (2R) / sqrt (3) #

Mit dieser Wahl erhalten wir die maximale Lautstärke als;

# V = piR ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3))) #

#:. V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:. V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

Und natürlich ist das Volumen der Kugel gegeben durch:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

Dies ist ein sehr bekanntes Problem, das von griechischen Mathematikern lange vor der Entdeckung von Calculus untersucht wurde. Eine interessante Eigenschaft ist das Verhältnis des Volumens des Zylinders zum Volumen der Kugel:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

Mit anderen Worten ist das Verhältnis der Volumina völlig unabhängig von # R #, # r # oder # h # Das ist schon ein erstaunliches Ergebnis!