Was ist das Integral von sqrt (9-x ^ 2)?

Immer wenn ich diese Funktionen sehe, erkenne ich (durch viel Übung), dass Sie hier eine spezielle Substitution verwenden sollten:

#int sqrt (9-x ^ 2) dx #

#x = 3sin (u) #

Das mag wie ein komischer Ersatz aussehen, aber Sie werden sehen, warum wir das tun.

#dx = 3cos (u) du #

Ersetzen Sie alles im Integral:

#int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * 3cos (u) du #

Wir können die 3 aus dem Integral holen:

# 3 * int sqrt (9- (3sin (u)) ^ 2) * cos (u) du #

# 3 * int sqrt (9-9sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Sie können die 9 ausrechnen:

# 3 * int sqrt (9 (1-sin ^ 2 (u))) * cos (u) du #

# 3 * 3int sqrt (1-sin ^ 2 (u)) * cos (u) du #

Wir kennen die Identität: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

Wenn wir lösen für # cosx #, wir bekommen:

# cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x #

#cosx = sqrt (1-sin ^ 2x) #

Genau das sehen wir im Integral, so dass wir es ersetzen können:

# 9 int cos ^ 2 (u) du #

Sie kennen dieses vielleicht als ein grundlegendes Gegenmittel, aber wenn Sie es nicht tun, können Sie es so herausfinden:

Wir verwenden die Identität: # cos ^ 2 (u) = (1 + cos (2u)) / 2 #

# 9 int (1 + cos (2u)) / 2 du #

# 9/2 int 1 + cos (2u) du #

# 9/2 (int 1du + int cos (2u) du) #

# 9/2 (u + 1 / 2sin (2u)) + C # (Sie können dies durch Substitution herausfinden)

# 9/2 u + 9/4 sin (2u) + C #

Jetzt müssen wir nur noch setzen # u # in die Funktion. Lass uns zurückblicken, wie wir es definiert haben:

#x = 3sin (u) #

# x / 3 = sin (u) #

Bekommen # u # Aus diesem Grund müssen Sie die Umkehrfunktion von übernehmen #Sünde# auf beiden Seiten ist das so # arcsin #:

#arcsin (x / 3) = arcsin (sin (u)) #

#arcsin (x / 3) = u #

Jetzt müssen wir es in unsere Lösung einfügen:

# 9/2 arcsin (x / 3) + 9/4 sin (2arcsin (x / 3)) + C #

Dies ist die endgültige Lösung.