Was sind die Extrema von f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 auf [-oo, oo]?

Antworten:

#f (x) # hat ein Minimum an # x = 2 #

Erläuterung:

Bevor Sie fortfahren, beachten Sie, dass dies eine nach oben gerichtete Parabel ist, was bedeutet, dass wir ohne weitere Berechnung wissen können, dass sie kein Maximum und an ihrem Scheitelpunkt ein einziges Minimum hat. Die Fertigstellung des Platzes würde uns das zeigen #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #Geben Sie den Scheitelpunkt und damit das einzige Minimum an #x = 2 #. Mal sehen, wie das mit Kalkül gemacht wird.

Alle Extrema treten entweder an einem kritischen Punkt oder an einem Endpunkt des angegebenen Intervalls auf. Als unser vorgegebenes Intervall von # (- oo, oo) # ist offen, können wir die Möglichkeit von Endpunkten ignorieren, und so werden wir zuerst die kritischen Punkte der Funktion identifizieren, dh den Punkt, an dem sich die Ableitung der Funktion befindet #0# oder existiert nicht.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Setzen Sie dies gleich auf #0#finden wir einen kritischen Punkt an # x = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Jetzt können wir entweder prüfen, ob es sich um ein Extremum handelt (und um welchen Typ), indem wir einige Werte von überprüfen # f # um diesen Punkt oder durch den zweiten Ableitungstest. Lass uns letzteres verwenden.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Wie #f '' (2) = 6> 0 #, der zweite Ableitungstest sagt uns das #f (x) # hat ein lokales Minimum an # x = 2 #

Also verwenden #f '(x) # und #f '' (x) #, wir glauben, dass #f (x) # hat ein Minimum an # x = 2 #, passend zum Ergebnis, das wir mit Algebra gefunden haben.