Wie bewerte ich cos (pi / 5) ohne Taschenrechner?

Antworten:

Cos (#Pi# / 5) = cos 36 ° = (# sqrt #5 + 1)/4.

Erläuterung:

Ob # theta # = #Pi#/ 10, dann 5# theta # = #Pi#/2 #=># cos3# theta # = sin2# theta #. cos (#Pi# /2 - #Alpha#) = Sünde#Alpha#}.

#=># 4# cos ^ 3 # # theta # - 3cos# theta # = 2sin# theta #cos# theta ##=># 4 # cos ^ 2 ## theta # - 3 = 2 Sünde # theta #.

#=># 4 (1 - # sin ^ 2 # # theta #) - 3 = 2 Sünde# theta #. #=># 4# sin ^ 2 # # theta #+ 2sin# theta # - 1 = 0#=>#

Sünde# theta # =(# sqrt # 5 - 1) /4.

Jetzt cos 2# theta # = cos #Pi#/5 = 1 - 2# sin ^ 2 # # theta #gibt das Ergebnis.

Antworten:

#Cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Erläuterung:

Lassen #a = cos (pi / 5) #, #b = cos (2 * pi / 5) #. Somit #cos (4 * pi / 5) = -a #. Aus den Doppelwinkelformeln:

#b = 2a ^ 2-1 #

# -a = 2b ^ 2-1 #

Subtrahieren, # a + b = 2 (a ^ 2 - b ^ 2) = 2 (a + b) (a-b) #

# a + b # ist nicht Null, da beide Terme positiv sind # a-b # muss sein #1/2#. Dann

# a-1/2 = 2a ^ 2-1 #

# 4a ^ 2-2a-1 = 0 #

und die einzige positive wurzel ist

#a = cos (pi / 5) = (sqrt (5) +1) / 4 #.

Und #b = cos (2 · pi / 5) = a-1/2 = (sqrt (5) -1) / 4 #.