Frage Nr. Dbd28

Antworten:

Definieren Sie den Abstand zwischen dem Graphen und dem Punkt als Funktion und ermitteln Sie das Minimum.

Der Punkt ist #(3.5,1.871)#

Erläuterung:

Um zu wissen, wie nahe sie sind, müssen Sie die Entfernung kennen. Die euklidische Entfernung beträgt:

#sqrt (Δx ^ 2 + Δy ^ 2) #

Dabei sind Δx und Δy die Differenzen zwischen den 2 Punkten. Um der nächstgelegene Punkt zu sein, muss dieser Punkt den Mindestabstand haben. Deshalb setzen wir:

#f (x) = sqrt ((x-4) ^ 2 + (x ^ (1/2) -0) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + (x ^ (1/2)) ^ 2) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x ^ (1/2 * 2)) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-8x + 16 + x) #

#f (x) = sqrt (x ^ 2-7x + 16) #

Wir müssen nun das Minimum dieser Funktion finden:

#f '(x) = 1 / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) * (x ^ 2-7x + 16)' #

#f '(x) = (2x-7) / (2 * sqrt (x ^ 2-7x + 16)) #

Der Nenner ist als Quadratwurzelfunktion immer positiv. Der Zähler ist positiv, wenn:

# 2x-7> 0 #

#x> 7/2 #

#x> 3.5 #

Die Funktion ist also positiv wenn #x> 3.5 #. Ebenso kann nachgewiesen werden, dass es wann negativ ist #x <3.5 # Daher funktioniert es #f (x) # hat ein Minimum an # x = 3,5 #, was bedeutet, dass die Entfernung am wenigsten ist # x = 3,5 # Die y-Koordinate von # y = x ^ (1/2) # ist:

# y = 3,5 ^ (1/2) = Quadrat (3,5) = 1,871 #

Der Punkt, an dem der geringste Abstand von (4,0) beobachtet wird, ist:

#(3.5,1.871)#