Dies ist ein trigonometrischer Beweis für einen verallgemeinerten Fall. Die Frage befindet sich im Detailfeld.

Antworten:

Der Beweis durch Induktion ist unten.

Erläuterung:

Beweisen wir diese Identität durch Induktion.

A. Für # n = 1 # wir müssen das überprüfen

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (Theta) +1) = 2cos (Theta) -1 #

In der Tat, mit Identität #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, wir sehen das

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (Theta) -1) * (2cos (Theta) + 1) #

woraus folgt das

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (Theta) +1) = 2cos (Theta) -1 #

So für # n = 1 # Unsere Identität stimmt.

B. Nehmen Sie an, dass die Identität für stimmt # n #

Also nehmen wir das an

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Symbol #Pi# wird für das Produkt verwendet)

C. Unter Verwendung der obigen Annahme B beweisen wir die Identität für # n + 1 #

Wir müssen beweisen, dass aus der Annahme B folgt

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Beachten Sie, dass die rechte Grenze für einen Multiplikationsindex ist # n # jetzt).

BEWEIS

Verwendung einer Identität #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # zum # x = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Anfangs- und Endausdrücke durch teilen # 2cos (Theta) +1 #, bekommen

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (Theta) +1 #

Jetzt verwenden wir die Annahme B, die erhalten wird

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(Beachten Sie, dass der Bereich eines Index jetzt erweitert wird auf # n #).

Die letzte Formel ist genau die gleiche für # n + 1 # wie original ist für # n #. Damit ist der Beweis durch Induktion abgeschlossen, dass unsere Formel für alle gilt # n #.

Antworten:

Siehe den Beweis im Abschnitt Erklärung.

Erläuterung:

Dies ist gleichbedeutend mit dem Nachweis, dass

(2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "L. L. S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "die R.H.S." #

Genießen Sie Mathe.!