Wie findet man die Summe der unendlichen geometrischen Reihe 10 (2/3) ^ n, wenn n = 2?

Antworten:

Die Antwort lautet entweder #40/9# oder #40/3# je nachdem, was mit der Frage gemeint war.

Erläuterung:

Gut, wenn #n = 2 # dann gibt es keine Summe, die Antwort ist nur:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

Aber vielleicht sollte die Frage lauten, dass die unendliche Summe ab dem Zeitpunkt genommen wird # n = 2 # so dass die Gleichung ist:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n #

In diesem Fall würden wir es berechnen, indem wir zuerst feststellen, dass jede geometrische Reihe als von der Form gesehen werden kann:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

In diesem Fall hat unsere Serie #a = 10 # und #r = 2/3 #.

Wir werden auch bemerken, dass:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

Wir können also einfach die Summe einer geometrischen Reihe berechnen # (2/3) ^ n # und multiplizieren Sie dann diese Summe mit #10# zu unserem Ergebnis kommen. Das macht die Sache einfacher.

Wir haben auch die Gleichung:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

Dies ermöglicht uns die Berechnung der Summe der Serie ab # n = 0 #. Aber wir wollen es aus berechnen # n = 2 #. Dazu subtrahieren wir einfach das # n = 0 # und # n = 1 # Begriffe aus der vollen Summe. Wenn wir die ersten Ausdrücke der Summe ausschreiben, können wir feststellen, dass es so aussieht:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

Wir können das sehen:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#

U_1, u_2, u_3, ... befinden sich in der geometrischen Progression (GP). Das gemeinsame Verhältnis der Terme in der Reihe ist K. Bestimmen Sie nun die Summe der Reihe u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) in der Form von K und u_1?

Sum_ (k = 1) ^ inu_ku_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) Der allgemeine Ausdruck einer geometrischen Progression kann geschrieben werden: a_k = ar ^ (k-1) wobei a der anfängliche Term und r das gemeinsame Verhältnis ist. Die Summe aus n Ausdrücken ergibt sich aus der Formel: s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) -Farbe (weiß) () Mit den Angaben in der Frage kann die allgemeine Formel für u_k sein geschrieben: u_k = u_1 K ^ (k-1) Beachten Sie Folgendes: u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Also: sum_ (k = 1) ^ inu_ku_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ nu_1 ^ 2 K ^ (2k-1) Farbe (w

Wenn die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe 9 ist und der erste Term 6 ist, bestimmen Sie das gemeinsame Verhältnis?

Die Antwort ist 1/3. Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe ergibt sich aus a / (1-r). Dabei ist a der erste Term und r das übliche Verhältnis So 6 / (1-r) = 9 So r = 1/3

Wie finden Sie die Summe der folgenden unendlichen geometrischen Reihe, wenn 3 + 9 + 27 + 54 +… vorhanden ist?

A_2 / a_1 = 9/3 = 3 a_3 / a_2 = 27/9 = 3 impliziert gemeinsames Verhältnis = r = 3 Da das gemeinsame Verhältnis größer als ist, ist die Reihe divergent und daher kann ihre Summe nicht gefunden werden. Man kann jedoch sagen, dass seine Summe unendlich ist.