U_1, u_2, u_3, ... befinden sich in der geometrischen Progression (GP). Das gemeinsame Verhältnis der Terme in der Reihe ist K. Bestimmen Sie nun die Summe der Reihe u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) in der Form von K und u_1?

Antworten:

#sum_ (k = 1) ^ inu_ku_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

Erläuterung:

Der allgemeine Begriff einer geometrischen Progression kann geschrieben werden:

#a_k = a r ^ (k-1) #

woher #ein# ist der anfängliche Begriff und # r # das gemeinsame Verhältnis.

Die Summe zu # n # Begriffe werden durch die Formel gegeben:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#Farbe weiß)()#

Mit den Angaben in der Frage wird die allgemeine Formel für #Vereinigtes Königreich# kann geschrieben werden:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

Beachten Sie, dass:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

So:

#sum_ (k = 1) ^ inu_ku_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ inu_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#Farbe (weiß) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#Farbe (weiß) (sum_ (k = 1) ^ in u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ in (^) ("k-1)" "# woher # a = u_1 ^ 2K # und #r = K ^ 2 #

#Farbe (weiß) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#Farbe (weiß) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #