Frage # 82567

Antworten:

#cos ((2pi) / 9) + isin ((2pi) / 9) #, #cos ((8pi) / 9) + isin ((8pi) / 9) # und

#cos ((14pi) / 9) + isin ((14pi) / 9) #,

Erläuterung:

Als Erstes geben Sie die Nummer in der Form von ein # rhoe ^ (thetai) #

# rho = sqrt ((1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2) = sqrt (1/4 + 3/4) = 1 #

# theta = arctan ((sqrt (3) / 2) / (- 1/2)) = arctan (-sqrt (3)) = - pi / 3 + kpi #. Lass uns aussuchen # (2pi) / 3 #da sind wir im zweiten Quadranten. Achten Sie darauf # -pi / 3 # ist im vierten Quadranten, und das ist falsch.

Ihre Nummer ist jetzt:

# 1e ^ ((2pii) / 3) #

Nun sind die Wurzeln:

#wurzel (3) (1) e ^ (((2kpi + (2pi) / 3) i) / 3), k in ZZ #

# = e ^ ((((6kpi + 2pi) i) / 9), k in ZZ #

Sie können also k = 0, 1, 2 wählen und erhalten:

#e ^ ((2pii) / 9 #, #e ^ ((8kpii) / 9 # und #e ^ ((14kpii) / 9 #

oder #cos ((2pi) / 9) + isin ((2pi) / 9) #, #cos ((8pi) / 9) + isin ((8pi) / 9) # und

#cos ((14pi) / 9) + isin ((14pi) / 9) #.

Für mich ist das eine Sackgasse, weil ich trigonometrische Funktionen von Vielfachen von nicht berechnen kann # pi / 9 #. Wir müssen uns auf einen Rechner verlassen:

# 0.7660 + 0.6428i #

# -0.9397 + 0.3420i #

# 0.1736-0.9848i #