Wie groß ist der Umfang eines regelmäßigen Achtecks mit einem Radius von Länge 20?

Antworten:

Es hängt davon ab, ob:

Wenn der innere Radius ist #20#dann ist der Umfang:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Wenn der äußere Radius ist #20#dann ist der Umfang:

# 160 Quadratmeter (2 Quadratmeter (2)) ~~ 122.46 #

Erläuterung:

Hier umschreibt der rote Kreis den äußeren Radius und der grüne Kreis den inneren.

Lassen # r # sei der äußere Radius - das ist der Radius des roten Kreises.

Dann konzentrierten sich die Eckpunkte des Achtecks auf #(0, 0)# sind bei:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

Die Länge einer Seite ist der Abstand zwischen # (r, 0) # und # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Der Gesamtumfang ist also:

#color (rot) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Also wenn der äußere Radius ist #20#dann ist der Umfang:

# 8 * 20 Quadratmeter (2 Quadratmeter (2)) = 160 Quadratmeter (2 Quadratmeter (2)) ~~ 122.46 #

#Farbe weiß)()#

Der innere Radius wird sein # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

So #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Dann ist der Gesamtumfang

# 8r Quadrat (2 Quadratmeter (2)) = 8 (2r_1) / (Quadrat (2 + Quadrat (2))) Quadrat (2 Quadratmeter (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (Quadrat (2) (2 Quadrat (2))) / ((2 + Quadrat (2)) (2 Quadrat (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = Farbe (grün) (16r_1 (sqrt (2) -1))) #

Also wenn der innere Radius ist #20#dann ist der Umfang:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#Farbe weiß)()#

Wie gut eine Annäherung für #Pi# gibt uns das?

Während wir hier sind, für welche Annäherung #Pi# erhalten wir durch Mittelung der inneren und äußeren Radien?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… also nicht so toll.

Um eine gute Annäherung zu erhalten #355/113 ~~ 3.1415929#der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi benutzte a #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) seitliches Polygon und Zählstäbe.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi