Wie löse ich 2sinx = cos (x / 3)?

Antworten:

Unsere ungefähren Lösungen sind:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ oder -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

für eine ganze Zahl # k #.

Erläuterung:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Dies ist eine ziemlich schwierige Frage.

Beginnen wir mit der Einstellung # y = x / 3 # so # x = 3y # und Ersetzen. Dann können wir die Dreifachwinkelformel verwenden:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Lassen Sie uns ein Quadrat bilden, damit wir alles in Bezug auf schreiben # sin ^ 2 y #. Dies wird wahrscheinlich Fremdwurzeln einführen.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Lassen # s = sin ^ 2 y #. Squared Sinus werden aufgerufen breitet sich aus in der rationalen Trigonometrie.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Das ist eine kubische Gleichung mit drei echten Wurzeln, Kandidaten für die quadrierten Sinuskurven von # 3x. # Wir könnten die kubische Formel verwenden, aber dies führt nur zu Würfelwurzeln mit komplexen Zahlen, die nicht besonders hilfreich sind. Nehmen wir einfach eine numerische Lösung:

# s 0.66035 oder s 0.029196 oder s 0.81045 #

#x = 3y = 3 Bogen (pm sqrt {s}) #

Lass uns in Grad arbeiten. Unsere möglichen Näherungslösungen sind:

# x = 3 Bogen (pm sqrt {0,66035}) ca. pm 163.058 ^ circ oder pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 Bögen (pm sqrt {0.029196}) ca. pm 29.5149 ^ circ oder pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 Bogen (pm sqrt {0.81045}) ca. pm 192.573 ^ circ oder pm 732.573 ^ circ #

Mal sehen, ob einer von ihnen funktioniert. Lassen #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ Circ) ca. 0.00001 Quad # das ist eine Lösung.

#e (-163.058 ^ circ) ca. -1.17 Quad # keine Lösung

Offensichtlich höchstens eine von a # pm # Paar wird funktionieren.

Noch zehn weitere.

#e (703.058 ^ circ) ca. 0.00001 Quad-Quadrat-Anzahl

#e (-703.058 ^ circ) quad # Nee

#e (29.5149 ^ circ) ca. 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Nee

#e (569.51 ^ circ) ca. 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Nee

#e (192.573 ^ circ) ca. -.87 quad # Nee

#e (-192.573 ^ circ) ca. 0.00001 Quad-Quadrat #

#e (732.573 ^ Circ) ca. -.87 Quad # Nee

#e (-732.573 ^ circ) ca. 0.00001 Quad-Quadrat #

Der Bogen kommt mit einem # + 360 ^ circ k #und der Faktor drei macht es # 1080 ^ umk. #

OK, unsere ungefähren Lösungen sind:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # für eine ganze Zahl # k #.