Was sind die Extrema von f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 im Intervall [-1,3]?

Antworten:

Wir haben ein Minimum an # x = 0 # und ein Wendepunkt bei # x = 3 #

Erläuterung:

Ein Maxima ist ein Höhepunkt, auf den eine Funktion steigt und dann wieder fällt. Daher ist die Steigung der Tangente oder der Wert der Ableitung an diesem Punkt gleich Null.

Da die Tangenten links von den Maxima weiter nach oben abfallen, dann abflachen und dann nach unten abfallen, nimmt die Neigung der Tangente kontinuierlich ab, d. H. Der Wert der zweiten Ableitung wäre negativ.

Ein Minimum dagegen ist ein Tiefpunkt, auf den eine Funktion fällt und dann wieder steigt. Somit ist auch der Tangens oder der Wert der Ableitung bei Minima Null.

Da die Tangenten links von Minima jedoch nach unten abfallen, dann abflachen und dann nach oben abfallen, steigt die Neigung der Tangente kontinuierlich an oder der Wert der zweiten Ableitung wäre positiv.

Wenn die zweite Ableitung Null ist, haben wir einen Punkt von

Diese Maxima und Minima können jedoch entweder universell sein, d. H. Maxima oder Minima für den gesamten Bereich, oder sie können lokalisiert sein, d. H. Maxima oder Minima in einem begrenzten Bereich.

Lassen Sie uns dies mit Bezug auf die in der Frage beschriebene Funktion sehen und lassen Sie uns zunächst unterscheiden #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Ihre erste Ableitung ist gegeben durch #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Dies wäre Null für # x ^ 2-9 = 0 # oder #x = + - 3 # oder #0#. Nur von diesen #{0,3}# sind innerhalb des Bereichs #-1,3}#.

Daher treten Maxima oder Minima an Punkten auf # x = 0 # und # x = 3 #.

Um herauszufinden, ob es sich um Maxima oder Minima handelt, betrachten wir das zweite Differential, das ist #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # und somit während

beim # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # und ist positiv

beim # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # und ist ein Wendepunkt.

Daher haben wir ein lokales Minimum # x = 0 # und ein Wendepunkt bei # x = 3 #

. Graph {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Antworten:

Das absolute Minimum ist #(-9)^3+10# (was bei auftritt #0#) ist das absolute Maximum des Intervalls #10#(was bei auftritt #3#)

Erläuterung:

Die Frage gibt nicht an, ob wir relative oder absolute Extreme finden sollen, also werden wir beides finden.

Relative Extreme können nur bei kritischen Zahlen auftreten. Kritische Zahlen sind Werte von # x # das sind in der Domäne von # f # und an welcher entweder #f '(x) = 0 # oder #f '(x) existiert nicht. (Fermats Satz)

Absolute Extrema in einem geschlossenen Intervall können bei kritischen Zahlen im Intervall oder an Punkten des Intervalls auftreten.

Denn die hier angefragte Funktion ist ständig eingeschaltet #-1,3#der Extremwertsatz versichert uns das # f # muss sowohl ein absolutes Minimum als auch ein absolutes Maximum im Intervall haben.

Kritische Zahlen und relative Extreme.

Zum #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, wir finden #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Deutlich, # f '# gibt es immer wieder, so dass es keine kritischen Zahlen dieser Art gibt.

Lösen # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # liefert Lösungen #-3#, #0#, und #3#.

#-3# ist nicht in der Domäne dieses Problems, #-1,3# also müssen wir nur überprüfen #f (0) # und #f (3) #

Zum #x <0 #, wir haben #f '(x) <0 # und

zum #x> 0 #, wir haben #f '(x)> 0 #.

Also durch den ersten abgeleiteten Test, #f (0) # ist ein relatives Minimum. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Die andere kritische Zahl im Intervall ist #3#. Wenn wir die Domain-Einschränkung ignorieren, finden wir das #f '(x)> 0 # für alle # x # nahe #3#. So steigt die Funktion bei kleinen offenen Intervallen an #3#. Deshalb, wenn wir aufhören beim #3# Wir haben den höchsten Punkt erreicht in der Domäne.

Es gibt nicht universelle Vereinbarung, ob das gesagt werden soll #f (3) = 10 # ist ein relatives Maximum für diese Funktion #-1,3#.

Einige erfordern Wert auf beiden Seiten um weniger zu sein, benötigen andere Werte in der Domäne auf beiden Seiten weniger.

Absolute Extrema

Die Situation für absolute Extreme in einem geschlossenen Intervall # a, b # ist viel einfacher.

Finden Sie kritische Zahlen im geschlossenen Intervall. Ruf den # c_1, c_2 # und so weiter.

Berechnen Sie die Werte #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # und so weiter. Der größte Wert ist der absolute Betrag des Intervalls und der kleinste Wert ist der absolute Mindestwert des Intervalls.

In dieser Frage berechnen wir #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # und #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Das Minimum ist #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # und

das Maximum ist #f (-3) = 10 #.