Zwei Ecken eines Dreiecks haben Winkel von (5 pi) / 12 und (pi) / 12. Wenn eine Seite des Dreiecks eine Länge von 9 hat, was ist der längste mögliche Umfang des Dreiecks?

Zwei Ecken eines Dreiecks haben Winkel von (5 pi) / 12 und (pi) / 12. Wenn eine Seite des Dreiecks eine Länge von 9 hat, was ist der längste mögliche Umfang des Dreiecks?
Anonim

Antworten:

# P = 9 (3 + sqrt3 + sqrt6 + sqrt2) ca.77,36 #.

Erläuterung:

Im # triangleABC #, Lassen # A = (5pi) / 12, B = pi / 12 #. Dann

# C = Pi-A-B #

# C = (12pi) / 12 - (5pi) / 12-pi / 12 #

# C = (6pi) / 12 = pi / 2 #.

In allen Dreiecken liegt die kürzeste Seite immer dem kürzesten Winkel gegenüber. Die Maximierung des Umfangs bedeutet, dass der größte Wert, den wir kennen (9), an der kleinstmöglichen Position (gegenüber) liegt # angleB #). Bedeutung für den Umfang von # triangleABC # maximiert werden # b = 9 #.

Mit dem Gesetz der Sinus haben wir

# sinA / a = sinB / b = sinC / c #

Lösen für #ein#, wir bekommen:

# a = (bsinA) / sinB = (9sin ((5pi) / 12)) / sin (pi / 12) = (9 (sqrt6 + sqrt2) // 4) / ((sqrt6-sqrt2) // 4) = … = 9 (2 + sqrt3) #

Ebenso lösen für # c # Erträge

# c = (bsinC) / sinB = (9sin (pi / 2)) / (sin (pi / 12)) = (9 (1)) / ((sqrt6-sqrt2) // 4) = … = 9 (sqrt6 + sqrt2) #

Das Areal # P # von # triangleABC # ist die Summe aller drei Seiten:

# P = Farbe (orange) a + Farbe (blau) b + Farbe (grün) c #

# P = Farbe (orange) (9 (2 + sqrt3)) + farbe (blau) 9 + farbe (grün) (9 (sqrt6 + sqrt2)) #

# P = 9 (2 + sqrt3 + 1 + sqrt6 + sqrt2) #

# P = 9 (3 + sqrt3 + sqrt6 + sqrt2) ca.77,36 #