Zwei Ecken eines Dreiecks haben Winkel von (2 pi) / 3 und (pi) / 4. Wenn eine Seite des Dreiecks eine Länge von 4 hat, was ist der längste mögliche Umfang des Dreiecks?

Antworten:

# P_max = 28.31 # Einheiten

Erläuterung:

Das Problem gibt zwei von drei Winkeln in einem beliebigen Dreieck. Da muss die Summe der Winkel in einem Dreieck bis zu 180 Grad summieren, oder #Pi# Radiant, wir können den dritten Winkel finden:

# (2pi) / 3 + pi / 4 + x = pi #

# x = pi- (2pi) / 3-pi / 4 #

# x = (12pi) / 12- (8pi) / 12- (3pi) / 12 #

# x = pi / 12 #

Zeichnen wir das Dreieck:

Das Problem besagt, dass eine der Seiten des Dreiecks eine Länge von 4 hat, aber welche Seite nicht angegeben wird. In jedem gegebenen Dreieck ist es jedoch wahr, dass das am kleinsten Seite wird dem kleinsten Winkel entgegengesetzt sein.

Wenn Sie den Umfang maximieren möchten, sollten Sie die Seite mit der Länge 4 gegenüber dem kleinsten Winkel gegenüberstellen. Da die anderen beiden Seiten größer als 4 sein werden, wird garantiert, dass der Umfang maximiert wird. Aus diesem Dreieck wird also:

Schließlich können wir die verwenden Gesetz der Sinus um die Längen der anderen beiden Seiten zu ermitteln:

#sin (a) / A = sin (b) / B = sin (c) / C #

Einstecken wir bekommen:

#sin (pi / 12) / 4 = sin (pi / 4) / x = sin ((2pi) / 3) / y #

Nach x und y lösen wir:

# x = 10,93 # und # y = 13.38 #

Daher ist der maximale Umfang:

# P_max = 4 + 10,93 + 13,38 #

# P_max = 28.31 #

Hinweis: Da das Problem die Längeneinheiten für das Dreieck nicht angibt, verwenden Sie einfach "Einheiten".