Wasser, das auf einen Boden läuft, bildet einen kreisförmigen Pool. Der Beckenradius vergrößert sich mit einer Geschwindigkeit von 4 cm / min. Wie schnell vergrößert sich die Fläche des Beckens bei einem Radius von 5 cm?

Antworten:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Erläuterung:

Zuerst sollten wir mit einer Gleichung beginnen, die wir kennen und die die Fläche eines Kreises, den Pool und seinen Radius betreffen:

# A = pir ^ 2 #

Wir möchten jedoch sehen, wie schnell sich die Fläche des Pools vergrößert, was sich sehr nach Rate anhört … was sehr nach Ableitung klingt.

Wenn wir die Ableitung von nehmen # A = pir ^ 2 # in Bezug auf die Zeit, # t #, wir sehen das:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Vergessen Sie nicht, dass die Kettenregel auf der rechten Seite gilt, mit # r ^ 2 #- dies ähnelt der impliziten Differenzierung.)

Wir wollen also feststellen # (dA) / dt #. Die Frage hat uns das gesagt # (dr) / dt = 4 # wenn es heißt "der Radius des Beckens steigt mit einer Rate von #4# cm / min "und wir wissen auch, dass wir finden wollen # (dA) / dt # wann # r = 5 #. Beim Einstecken dieser Werte sehen wir Folgendes:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Um dies in Worte zu fassen, sagen wir das:

Die Fläche des Pools wächst mit einer Rate von # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min wenn der Kreisradius ist # bb5 # cm.

Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?

Sei V das Volumen des Wassers in dem Tank in cm 3; h sei die Tiefe / Höhe des Wassers in cm; und sei r der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius am oberen Rand von 2 m hat, implizieren ähnliche Dreiecke, dass frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 ist, so dass h = 3r ist. Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels ist dann V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Unterscheiden Sie nun beide Seiten bezüglich der Zeit t (in Minuten), um frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} z

Öl, das aus einem gebrochenen Tanker gelangt, breitet sich in einem Kreis auf der Oberfläche des Ozeans aus. Die Überlauffläche nimmt mit einer Geschwindigkeit von 9π m² / min zu. Wie schnell vergrößert sich der Radius des Überlaufs, wenn der Radius 10 m beträgt?

Dr | _ (r = 10) = 0,45 m // min. Da die Fläche eines Kreises A = pi r ^ 2 ist, können wir das Differential auf jeder Seite nehmen, um zu erhalten: dA = 2pirdr Daher ändert sich der Radius mit der Rate dr = (dA) / (2pir) = (9pi) / (2pir) ) Somit ist dr | _ (r = 10) = 9 / (2xx10) = 0,45 m // min.

Du wirfst einen Stein in einen Teich und beobachtest, wie sich die kreisförmige Welle entlang der Oberfläche in alle Richtungen ausbreitet. Wenn sich die Welligkeit mit 1,4 m / s bewegt, wie hoch ist die ungefähre Geschwindigkeit, mit der der Umfang zunimmt, wenn der Durchmesser der kreisförmigen Welligkeit 6 m beträgt?

2,8 pi m / s Es ist givendr / dt = 1,4. C = 2 & pgr; r dC / dt = 2 & pgr; (dr) / dt = 2,8 & mgr; m / s