Was ist das Konvergenzintervall von sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Und was ist die Summe in x = 3?

Antworten:

# - oo, -4 "U" 5, oo "ist das Konvergenzintervall für x" #

# "x = 3 ist nicht im Konvergenzintervall, also Summe für x = 3 ist" oo #

Erläuterung:

# "Behandeln Sie die Summe wie eine geometrische Reihe, indem Sie" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

#"Dann haben wir"#

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "für" | z | <1 #

# "Das Konvergenzintervall ist also" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "ODER" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) (x-2 negativ) #

# "Positiver Fall:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 und x> 5 #

# => x> 5 #

# "Negativer Fall:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 und x <5 #

# => x <-4 #

# "Zweiter Teil:" x = 3 => z = 2> 1 => "Summe ist" oo #