Wie löst man 1 = cot ^ 2 x + csc x?

Antworten:

#x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

zum #k in ZZ #

Erläuterung:

# cot ^ 2x + cscx = 1 #

Verwenden Sie die Identität: # cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

# => cot ^ 2x + 1 = csc ^ 2x #

# => cot ^ 2x = csc ^ 2x-1 #

Ersetzen Sie dies in der ursprünglichen Gleichung, # csc ^ 2x-1 + cscx = 1 #

# => csc ^ 2x + cscx-2 = 0 #

Dies ist eine quadratische Gleichung in der Variablen # cscx # So können Sie die quadratische Formel anwenden, #csx = (- 1 + -sqrt (1 + 8)) / 2 #

# => cscx = (- 1 + -3) / 2 #

Fall #(1):#

#cscx = (- 1 + 3) / 2 = 1 #

Denken Sie daran, dass: # cscx = 1 / sinx #

# => 1 / sin (x) = 1 => sin (x) = 1 => x = pi / 2 #

Allgemeine Lösung (1): #x = (- 1) ^ n (pi / 2) + npi #

Wir müssen diese Werte ablehnen (vernachlässigen), weil #Kinderbett# Funktion ist nicht für ein Vielfaches von # pi / 2 # !

Fall #(2):#

#cscx = (- 1-3) / 2 = -2 #

# => 1 / sin (x) = - 2 => sin (x) = - 1/2 => x = -pi / 6 #

Allgemeine Lösung (2): #x = (- 1) ^ k (-pi / 6) + kpi #

Antworten:

Löse cot ^ 2 x + csc x = 1

Ans: # (pi) / 2; (7pi) / 6 und (11pi) / 6 #

Erläuterung:

# cos ^ 2 x / sin ^ 2 x + 1 / sin x = 1 #

# cos ^ 2 x + sin x = sin ^ 2 x #

# (1 - sin ^ 2 x) + sin x = sin ^ 2 x #

# 2sin ^ 2 x - sin x - 1 = 0 -> 2t ^ 2 - t - 1 = 0 # - Rufe sin x = t auf

Da a + b + c = 0, verwenden Sie die Tastenkombination: 2 echte Wurzeln sind:

t = 1 und #t = -1 / 2 #

ein. t = sin x = 1 -> #x = pi / 2 #

b. #sin x = - 1/2 # --> #x = (7pi) / 6 # und #x = (11pi) / 6 #