Wie löse ich die Gleichung ohne die Verwendung der Berechnungsfunktion eines Taschenrechners: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Antworten:

Die Nullen sind # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Erläuterung:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Das wird uns gesagt # (x-5) # ist ein Faktor, also trennen Sie es:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Das wird uns gesagt # (x + 2) # ist auch ein Faktor, so dass das heraus getrennt:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

Die Unterscheidung des verbleibenden quadratischen Faktors ist negativ, aber wir können immer noch die quadratische Formel verwenden, um die komplexen Wurzeln zu finden:

# x ^ 2-2x + 3 # ist in der Form # ax ^ 2 + bx + c # mit # a = 1 #, # b = -2 # und # c = 3 #.

Die Wurzeln werden durch die quadratische Formel angegeben:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + - Quadrat ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + - Quadrat (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + - Quadrat (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Lass es uns versuchen, ohne es zu wissen # (x-5) # und # (x + 2) # sind Faktoren.

Die konstante Laufzeit entspricht dem Root-Produkt

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Dieser Koeffizient ist ein ganzzahliger Wert, dessen Faktoren sind #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Wenn wir diese Werte ausprobieren, können wir das sehen

#p (-2) = p (5) = 0 # zwei Wurzeln erhalten.

Wir können das Polynom als darstellen

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Berechnen der rechten Seite und Vergleichen beider Seiten erhalten wir

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Lösen für # (a, b) # wir bekommen # a = -2, b = 3 #

Bewertung der Wurzeln von # x ^ 2-2x + 3 = 0 # wir bekommen # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #