Sei f: Anstieg von R auf R. finde die Lösung von f (x) = f ^ -1 (x)?

Antworten:

# f (x) = x #

Erläuterung:

Wir suchen eine Funktion #f: RR rarr RR # eine solche Lösung #f (x) = f ^ (- 1) (x) #

Das heißt, wir suchen eine Funktion, die ihre eigene Umkehrung ist. Eine offensichtliche Funktion dieser Art ist die triviale Lösung:

# f (x) = x #

Eine gründlichere Analyse des Problems ist jedoch von erheblicher Komplexität, wie sie von Ng Wee Leng und Ho Foo Him in der Fachzeitschrift "Association of Teachers of Mathematics" untersucht wurden.

www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf

Antworten:

Überprüfen Sie unten.

Erläuterung:

Die Gemeinsamkeiten # C_f # und #C_ (f ^ (- 1)) # Wenn sie existieren, sind sie nicht immer in der Winkelhalbierenden # y = x #. Hier ist ein Beispiel für eine solche Funktion: #f (x) = 1-x ^ 2 # #Farbe (weiß) (a) #, # x ##im## 0, + oo) #

graph {((y- (1-x ^ 2)) sqrtx) = 0 -7,02, 7,03, -5,026, 1,994}

Sie befinden sich jedoch nur in der Winkelhalbierenden und nur wenn # f # ist # # zunehmen.

Ob # f # nimmt dann streng zu #f (x) = f ^ (- 1) (x) # #<=># #f (x) = x #

Ob # f # Es ist nicht streng, die gemeinsamen Punkte durch das Lösen des Gleichungssystems zu finden

# {(y = f (x) ""), (x = f ^ (- 1) (y) ""):} # #<=># # {(y = f (x) ""), (x = f (y) ""):} # #<=>…#

Antworten:

#f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> x = 1 #

Erläuterung:

#f (x) = x ^ 3 + x-1 # #Farbe (weiß) (aa) #, # x ##im## RR #

#f '(x) = 3x ^ 2 + 1> 0 # #Farbe (weiß) (aa) #, # AA ## x ##im## RR #

so # f # ist # # im # RR #. Als streng monotone Funktion ist es auch "#1-1#"und als Eins-zu-Eins-Funktion hat es eine Umkehrung.

Wir müssen die Gleichung lösen #f ^ (- 1) (x) = f (x) # # <=> ^ (f) f (x) = x # #<=>#

# x ^ 3 + x-1 = x # #<=># # x ^ 3-1 = 0 # #<=>#

# (x-1) (x ^ 2 + x + 1) = 0 # # <=> ^ (x ^ 2 + x + 1> 0) #

# x = 1 #