Was ist die Multiplizität der reellen Wurzel einer Gleichung, die die x-Achse einmal kreuzt / berührt?

Antworten:

Ein paar Beobachtungen …

Erläuterung:

Beachten Sie, dass #f (x) = x ^ 3 # hat die Eigenschaften:

#f (x) # ist grad #3#
Der einzig wahre Wert von # x # für was #f (x) = 0 # ist # x = 0 #

Diese beiden Eigenschaften allein reichen nicht aus, um den Nullpunkt zu bestimmen # x = 0 # ist von Vielfalt #3#.

Betrachten Sie zum Beispiel:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Beachten Sie, dass:

#g (x) # ist grad #3#
Der einzig wahre Wert von # x # für was #g (x) = 0 # ist # x = 0 #

Aber die Vielheit der Null #g (x) # beim # x = 0 # ist #1#.

Einige Dinge können wir sagen:

Ein Polynom von Grad #n> 0 # hat genau # n # komplexe (möglicherweise reelle) Nullen, die die Multiplizität zählen. Dies ist eine Folge des Fundamentalsatzes der Algebra.
#f (x) = 0 # nur wenn # x = 0 #doch ist es von grad #3#hat es auch #3# Nullen zählen Multiplizität.
Deshalb diese Null an # x = 0 # muss von Vielfalt sein #3#.

Warum trifft das Gleiche nicht zu? #g (x) #?

Es ist grad #3#hat also drei Nullen, aber zwei davon sind nicht reelle komplexe Nullen, name # + - i #.

Eine andere Sichtweise ist, dies zu beobachten # x = a # ist eine Null von #f (x) # dann und nur dann, wenn # (x-a) # ist ein Faktor.

Wir finden:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Das ist: # x = 0 # ist eine null #3# mal vorbei.

Das Polynom vom Grad 4, P (x), hat eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 3 und Wurzeln der Multiplizität 1 bei x = 0 und x = -3. Es geht durch den Punkt (5.112). Wie findest du eine Formel für P (x)?

Ein Polynom mit Grad 4 hat die Wurzelform: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Ersetzen Sie die Werte durch die Wurzeln und verwenden Sie dann den Punkt, um den Wert zu finden von k. Ersetzen Sie in den Werten für die Wurzeln: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Verwenden Sie den Punkt (5,112), um den Wert von k zu ermitteln: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Die Wurzel des Polynoms lautet: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Das Polynom vom Grad 5, P (x) hat den Leitkoeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 1 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -3. Wie finden Sie eine mögliche Formel für P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Da jede Wurzel einem linearen Faktor entspricht, können wir schreiben: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x +3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Jedes Polynom mit diesen Nullen und mindestens diese Multiplizitäten sind a Vielfaches (Skalar oder Polynom) dieser Fußnote P (x) Genau genommen wird ein Wert von x, der zu P (x) = 0 führt, als Wurzel von P (x) = 0 oder einer Null von P (x) bezeichnet. Die Frage hätte also eigentlich über die Nullstellen von P (x) oder über die Wurzeln von P (x) = 0 sprechen sollen.

Das Polynom vom Grad 5, P (x) hat den Leitkoeffizienten 1, hat Wurzeln der Multiplizität 2 bei x = 1 und x = 0 und eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -1. Finden Sie eine mögliche Formel für P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Da wir eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 1 haben, wissen wir, dass P (x) einen Faktor (x-1) ^ hat 2 Da wir eine Wurzel der Multiplizität 2 bei x = 0 haben, wissen wir, dass P (x) einen Faktor x ^ 2 hat. Da wir eine Wurzel der Multiplizität 1 bei x = -1 haben, wissen wir, dass P (x) hat einen Faktor x + 1 Wir geben an, dass P (x) ein Polynom vom Grad 5 ist, und haben daher alle fünf Wurzeln und Faktoren identifiziert, sodass wir P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Deshalb können wir schreiben: P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Wir wissen auch, dass der f