Wie kann man beweisen, dass die Serie konvergiert?

Antworten:

Konvergiert durch den direkten Vergleichstest.

Erläuterung:

Wir können den Direktvergleichstest verwenden, soweit wir ihn haben

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #IE, die Serie beginnt um eins.

Um den Direktvergleichstest verwenden zu können, müssen wir das beweisen # a_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # ist positiv auf # 1, oo) #.

Beachten Sie zunächst das Intervall # 1, oo), cos (1 / k) # ist positiv. Für Werte von #x # cosx # ist im ersten Quadranten (und daher positiv). Nun, für … #k> = 1, 1 / k so, #cos (1 / k) # ist in der Tat positiv.

Darüber können wir sagen #cos (1 / k) <= 1 #, wie #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Dann können wir eine neue Sequenz definieren

# b_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # für alle # k. #

Gut, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Wir wissen, dass dies von der # p- #serientest ist es in der form # sum1 / k ^ p # woher # p = 2> 1 #.

Da dann die größere Serie zusammenläuft, muss die kleinere Serie.

Antworten:

Sie konvergiert durch den direkten Vergleichstest (Details siehe unten).

Erläuterung:

Erkennen Sie, dass der Cosinusbereich -1,1 ist. Schauen Sie sich die Grafik von an #cos (1 / x) #:

Graph {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Wie Sie sehen können, die maximal Dieser Wert wird 1 sein. Da wir hier nur Konvergenz beweisen wollen, setzen wir den Zähler auf 1 und lassen:

# sum1 / (9k ^ 2) #

Nun wird dies zu einem sehr einfachen direkten Vergleichstestproblem. Erinnern Sie sich, was der direkte Vergleichstest macht:

Betrachten Sie eine beliebige Serie #ein# (Wir wissen nicht, ob es konvergiert / divergiert) und eine Serie, für die wir die Konvergenz / Divergenz kennen, # b_n #:

Ob #b_n> a_n # und # b_n # konvergiert also #ein# konvergiert auch.

Ob #b_n <a_n # und # b_n # divergiert dann #ein# divergiert auch.

Wir können diese Funktion mit vergleichen #b_n = 1 / k ^ 2 #. Wir können dies tun, weil wir wissen, dass es konvergiert (aufgrund des p-Tests).

Also seit # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, und # 1 / k ^ 2 # konvergiert, können wir sagen, dass die Serie konvergiert

Aber warten Sie, wir haben nur bewiesen, dass diese Reihe konvergiert, wenn der Zähler = 1 ist #cos (1 / k) # könnte nehmen Nun, denken Sie daran, dass 1 das ist maximal Wert, den der Zähler annehmen könnte. Da wir also bewiesen haben, dass dies konvergiert, haben wir indirekt bewiesen, dass diese Reihe für jeden Wert im Zähler konvergiert hat.

Hoffe das hat geholfen:)